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Zum Zweizentrenproblem beim Vorhandensein auch abstoßender Kräfte. (Finnish) JFM 54.0835.02
Acta Soc. sc. Fennicae (2) A, 1, Nr. 4, 106 S. (1928).
Wie eine Arbeit des Verf. aus dem Jahre 1927 (F. d. M. 53, 735 (JFM 53.0735.*)) beschäftigt sich auch die vorliegende mit dem schon von Euler behandelten Spezialfall des astronomischen Dreikörperproblems zweier fester und eines beweglichen Massenpunktes. Mit Legendre geht Verf. in seiner Arbeit jedoch über den Eulerschen Ansatz hinaus, der nur anziehende Kräfte zuläßt, und untersucht die Bewegungsverhältnisse auch für eine anziehende und eine abstoßende Kraft, sowie schließlich für zwei abstoßende Kräfte. Die Behandlung nach der Hamilton-Jakobischen Integrationstheorie unter Benutzung elliptischer Koordinaten (\(\lambda\) und \(\mu\)) geschieht in genau der gleichen Weise wie in der oben zitierten Arbeit. Der Annahme abstoßender Kräfte wird Verf. durch Einführung von negativen Massen gerecht. Einer Untersuchung über die Niveaukurven und Kraftlinien schließ t sich wieder eine ausführliche und erschöpfende Diskussion der Bahnkurven des dritten Massenpunktes an. Die Unterscheidung der einzelnen Fälle geschieht nach dem Größenverhältnis von anziehender und abstoßender Masse \((m_1\gtreqqless m_2)\), nach dem Vorzeichen der beiden Integrationskonstanten und dem Vorzeichen der vier Wurzeln \((\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2)\), die vermöge der Nebenbedingungen \(\frac{d \lambda}{dt}=0\) und \(\frac{d \mu}{dt}=0\) aus den intermediären Integralen gewonnen werden.
Im Falle zweier abstoßender Zentren genügt in bezug auf die Masse die Unterscheidung \(m_1 \geqq m_2\). Als besondere Bahnformen erscheinen dabei: die elliptische Bewegung, die Planetenbewegung, d. h. die Bewegung in einem Ringe zwischen zwei Ellipsen, die Satellitenbewegung zwischen einer Ellipse und einem Hyperbelast, die Bewegung in einem Ringabschnitt, nämlich in dem von einem Hyperbelast abgeschnittenen Teil eines von zwei Ellipsen begrenzten Ringes, die pendelnde Ringbewegung zwischen zwei Ellipsen, die asymptotisch-hyperbolische Bewegung innerhalb eines unbegrenzten Streifens zwischen zwei Hyperbelästen, Bewegungen innerhalb eines von einem Hyperbelast abgegrenzten Gebietes und innerhalb eines von einem Hyperbelast und einem Ellipsenbogen begrenzten Gebietes; bei zwei abstoßenden Zentren erscheinen insbesondere: Bewegungen auf einem Hyperbelast, Bewegungen außerhalb einer Ellipse, asymptotischhyperbolische Bewegung zwischen zwei Hyperbelästen, dieselbe, jedoch nur außerhalb eines bestimmten Ellipsenbogens, oder asymptotisch-hyperbolische Bewegung in einem von einem Ellipsenbogen und einem Hyperbelast begrenzten Gebiet.
Die verschiedenen Bahnformen werden in vielen numerisch angegebenen Beispielen tabellarisch und zeichnerisch veranschaulicht. (VIII 2 B.)