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Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien. (French) JFM 54.0763.05
In der Theorie der quadratischen Differentialformen spielen drei Zahlen eine charakteristische Rolle: Der Rang der Koeffizientenmatrix der Form, die Minimalzahl der Veränderlichen, auf welche sich die Form reduzieren läßt, und die sogenannte Klasse der Form. Der letzte Begriff (Ricci, 1884, F. d. M. 16, 230) hängt mit dem in Rede stehenden Thema folgendermaßen zusammen: Deutet man eine gegebene quadratische Differentialform als (erste) metrische Fundamentalform einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, also als quadriertes Bogenelement \(ds^2\) in der bekannten Bezeichnungsweise \[ ds^2=\sum_{i,k=1}^n g_{ik} dx^i dx^k, \] so ist es stets möglich, \(n + m\) analytische Funktionen \[ \xi_i=\varphi_i(x_1,x_2,\dots,x_n) \;(i=1,2,\dots,n+m) \] so zu bestimmen, daß \[ ds^2=\sum_{i=1}^{n+m} d \xi_i^2 \] gilt. Die kleinste Zahl \(m\), für welche diese Darstellung noch möglich ist, nennt Ricci die Klasse der Form.
Geometrisch bedeutet die Klasse das Minimum zusätzlicher Dimensionen, deren ein euklidischer Raum bedarf, in welchen die gegebene Mannigfaltigkeit “eingebettet” werden soll. Bereits 1872 (Annali di Mat. (2) 5, 178-193 (F. d. M. 4, 241); vgl. insbesondere p. 190 der Arbeit) findet sich bei L. Schlaefli, aber ohne strengen Beweis der “Einbettungssatz” in der Form: Jede \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit läß t sich in einen euklidischen Raum von mindestens \(\frac{n(n+1)}{2}\) Dimensionen einbetten. Im Fall \(n=2\) erbrachte Darboux (Leçons sur la théorie générale des surfaces III, Paris 1894, p. 253; F. d. M. 25, 1159 (JFM 25.1159.*)-1165) einen Beweis des Theorems. Der allgemeine Fall bot Schwierigkeiten, da ein direkter Versuch, die Existenz der \(\frac{n(n+1)}{2}\) “Einbettungsfunktionen” \(\varphi_i(x_1,x_2,\dots,x_n)\) zu beweisen, auf die Untersuchung der Integrabilitätsbedingungen eines partiellen Differentialsystems führt, welches nicht auf die Cauchy-Kowalewskische Normalform gebracht werden kann. Einen Beweis des allgemeinen Falles hat Janet (1927; F. d. M. 53, 699 (JFM 53.0699.*)) versucht. Der vorliegende Beweis stützt sich wesentlich auf die vom Verf. geförderte Theorie Pfaffscher Involutionssysteme: Geht man von einem \(\frac{n(n+1)}{2}\)-dimensionalen, auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogenen euklidischen Raum aus, so läß t sich die Bewegung eines Punktes in diesem Raum durch \(\frac{n(n+1)}{2}=N\) Verschiebungs- und \(\frac{N(N-1)}{2}\) schiefsymmetrische Drehungskomponenten beschreiben; der Punkt durchläuft eine \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn seine Koordinaten Funktionen von \(n\) unabhängigen Variablen sind.
Es läß t sich nun zunächst eine Reihe Pfaffscher Bedingungsgleichungen für die Verschiebungskomponenten angeben, welche die Identität der Bogenelemente der eingebetteten und einzubettenden Mannigfaltigkeit zur Folge hat. Dazu treten weitere Pfaffsche Bedingungsgleichungen für die “Rotationskomponenten”. Die Anwendung der Integrationstheorie des Verf. auf das so gewonnene Pfaffsche System führt zu dem Resultat: Es liegt im allgemeinen stets ein “Involutionssystem” vor; die allgemeine Lösung hängt noch von n willkürlichen Funktionen von \(n-1\) Argumenten ab. Der so bewiesene Schlaeflische Einbettungssatz behält auch im Komplexen seine Gültigkeit, wenn die auftretenden Funktionen analytisch vorausgesetzt werden; doch ist die Einbettung stets nur von örtlichem Charakter: “Einbettung im Kleinen”. Es wird noch auf den Fall verschwindender Diskriminante der quadratischen Differentialform sowie auf spezielle Fälle hingewiesen, welche mit singulären Lösungen des Pfaffschen Systems zusammenhängen.

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