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Untersuchung über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension. (German) JFM 54.0609.02
In Weiterführung der bereits in seinen früheren Arbeiten formulierten Gedanken nimmt Verf. eine eingehende Untersuchung der abgeschlossenen Mengen hinsichtlich ihrer kombinatorischen Eigenschaften in Angriff. Den Ausgangspunkt und die Grundlage der Untersuchung bildet die Möglichkeit, jeder abgeschlossenen Menge auf eine bestimmte Weise elementargeometrische Komplexe zuzuordnen von denen die betreffende Menge “approximiert” wird, wobei sich \(n\)-dimensionale Mengen immer durch Folgen von \(n\)-dimensionalen Komplexen, aber nie durch Folgen von weniger dimensionalen Komplexen approximieren lassen. Die allgemeine Betrachtung dieser Approximationen, die auf zweierlei Arten erfolgen können, eine abstrakte und eine anschaulich-geometrische, bildet den Inhalt der beiden ersten Kapitel. Im zweiten Kapitel werden u. a. Bedingungen dafür angegeben, daß zwei als Projektionsspektra abstrakt gegebene Folgen von approximierenden Komplexen topologisch äquivalente Räume darstellen.
Die Approximation durch Komplexe eröffnet den Weg zur kombinatorischen Behandlung der allgemeinen abgeschlossenen Mengen indem sie gestattet, auf die letzteren jene Begriffsbildungen und Invarianten zu übertragen, die von Haus aus nur für elementargeometrische Gebilde, für Komplexe definiert sind, wodurch sich weiter- gehende Verallgemeinerungen der Sätze der kombinatorischen Topologie ergeben. Ein wichtiger Satz dieser Art (Zerlegungssatz) wird im Kapitel III bewiesen: Im Euklidischen \(R^n\) bestimmt eine abgeschlossene Menge \(F\) eine endliche Anzahl \(k+1\) von Komplementargebieten, wenn \(k\) die kleinste Zahl ist von der Beschaffenheit, daß sich \(F\) durch eine Folge von Komplexen approximieren läßt, deren \((n-1)\)-te Bettische Zahlen den Wert \(k\) haben. Im Anschluß daran ergibt sich eine Charakterisierung der abgeschlossenen Mengen, die als Grenzen aller durch sie bestimmten Komplementargebiete auftreten. Durch den Zerlegungssatz ist ferner die Anzahl der Gebiete im Komplement \(R^n-F\) (mit anderen Worten: die nullte Bettische Zahl von \(R^n-F\)) als topologische Invariante von \(F\) erwiesen. Im Kapitel IV wird allgemein gezeigt, daß jede Bettische Zahl von \(-F\) eine topologische Invariante von \(F\) ist. Es gilt nämlich der Dualitätssatz, wonach die \(r\)-te Bettische Zahl von \(R^nF\) mit der \((n-r-1)\)-ten Brouwerschen Zyklosenzahl von \(F\) übereinstimmt. (Ob alle Bettischen Zahlen von \(R^n-F\) sich durch das Verhalten der approximierenden Komplexe von \(F\) ausdrücken lassen, wie dies für die nullte Zahl der Fall ist, ist noch unbekannt.) An den Dualitätssatz anschließend wird der Begriff der geschlossenen Cantorschen Mannigfaltigkeit formuliert. Ferner führt der Dualitätssatz zur Charakterisierung der Mengen, welche eine irreduzible Verschlingung gegebener Dimension zulassen.

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