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Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. (German) JFM 54.0543.02

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References:
[1] Es ist das Haptproblem der klasischen National?konomie: was wird, unter gegebenen ?u?eren Umst?nden, der absolut egoistische ?homo ?conomicus? tun?
[2] Die Identit?tf 1+f 2+...+f n?0 dr?ckt aus, da? die Spieler nur aneinander Zahlungen leisten, die Gesamthiet aber weder gewinnt noch verliert.
[3] Die bekannten Einw?nde gegen den Erwartungswert (die seine Ersetzung durch die sog. moralishe Hoffnung u. ?. erstreben), wollen wir unber?cksichtigt lassen: es sind andere Schwierigkeiten, die den Gegenstand unserer Betrachtungen bilden.
[4] Er hat es auch nicht n?tig, denn auf Grund der Spielregeln gewinnt er pro Partie 2.70% nach dem Umsatz.
[5] Wie man auf Grund der vorhergehenden Fu?note vermuten wird, ist das in diesem Falle eindeutig zu erzielende Resultat f?r das Verhalten der Pointeurs ein recht triviales: sie m?ssen m?glichst den Umsatz 0 haben, je n?her sie ihm kommen, desto besser!
[6] Auch ?Verbrecher-Bakkarat? oder ?Knobeln? genannt. In der ?blichen Formulierung hei?en 1, 2, 3 ?Papier?, ?Stein?, ?Schere? (?Papier verdeckt den Stein, Stein schleift die Schere, Schere schneidet das Papier?).
[7] Dabei ist Max Min = Min Max ben?tzt worden, d. h. unser relativ tiefer Satz ?ber Bilinearformen. Trivial, d. h. aus Max Min?Min Max, folgt hier offenbar nur Max Min?0, Min Max?0. W?hrend der endg?ltigen Abfassung dieser Arbeit wurde mir die Note von Herrn E. Borel in den Comptes rendus vom 10. Jan. 1927 (Sur les syst?mes de formes lin?ares ... et la th?orie du jeu, S. 52-55) bekannt. Borel formuliert die auf Bilinearformen bez?gliche Frage f?r ein symmetrisches 2-Personen-Spiel und stellt fest, da? keine Beispiele f?r Max Min<Min Max bekannt sind. Unser vorstehendes Resultat beantwortet seine Fragestellung.
[8] Wir wollen den Beweis f?rK?(?) skizzieren, f?r die drei anderen Funktionen geht er ebenso. WennK?(?)=0 ist, ist die Behauptung trivial, da stetsK?(?)?0 ist; es sei alsoK?(?)>0. F?r 0???K?(?)?? (?>0) ist stetsf(?, ?)?Min? f(?, ?), und daf(?, ?) stetig ist,f(?, ?)?Min? f(?, ?)?? (f?r ein geeignetes ?>0). Wenn also ? gen?gend nahe bei ? liegt, so ist noch immerf(?, ?)?Min? f(?, ?)?1/2? (weil sowohlf(?, ?) als auch Min? f(?, ?) stetig ist); d. h.f(?, ?) nimmt sein Minimum (in ?, f?r 0???b) in 0???K?(?)?? nirgends an. Also mu?K(?)?K(?)??. Das ist aber gerade die behauptete Halbstetigkeit nach unten.
[9] Man sieht hieran, da? unser Beispiel alles andere als ein Fall von ?Pathologie? von Spielen ist: es ist vielmehr ein in praxi recht, h?ufiger und charakteristischer Fall. Im Einklang damit werden wir in IV, 3. und V, 1. sehen, da? es sogar der allgemeine Fall des 3-Personen-Spieles ist.
[10] Inhaltlich ist dies ohne weiteres klar:S 2 undS 3 k?nnen in Koalition gegenS 1 bestenfallsM 2, 3 erzwingen, alsoS 1 f?r sich allein (gegen alle) bestenfalls ?M 2, 3 (wegen unseres Satzes ?ber das 2-Personen-Spiel); ebenso kannS 2 f?r sich allein bestenfalls ?M 1, 3 erzwingen. Koaliert k?nnen aberS 1 undS 2 bestenfallsM 1, 2 erzwingen; ?l’union fait la force?, d. h. ?M 2, 3?M 1, 3?M 1, 2,M 1, 2+M 1, 3+M 2, 3-0.
[11] Es ist ?brigensv 1=?M 2, 3+1/3D,v 2=?M 1, 3+1/3D,v 3=?M 1, 2+1/3D.
[12] Inhaltlich ist diese Behauptung ebenso klar, wie die in Fu?note12) S. 313 betrachtete.
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