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An expansion involving \(p\) inseparable parameters associated with a partial differential equation. (English) JFM 54.0506.01
Es wird gezeigt, daß man jede Funktion \(f(x_1,x_2,\dots,x_p)\) mit geeigneten Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften in eine \(p\)-fach unendliche Reihe nach Eigenfunktionen entwickeln kann. Dabei sind die Eigenfunktionen von der Gestalt \(\prod_{i=1}^p X_l(x_l)\), wo die Funktionen \(X_l\) nur von \(x_l\) abhängen und Lösungen des Eigenwertproblems \[ \begin{aligned} X_1'&+(\lambda a_1+g_1-\sum_{l=z}^p \mu_l) X_1=0,\\ X_l'+(\lambda a_l&+g_l+\mu_l)X_l=0 \;(l=2,3,\dots,p),\end{aligned} \]
\[ X_l(\pi)=X_l(-\pi) \] sind; \(a_l,g_l\) bedeuten darin Funktionen von \(x_l\), und \(\lambda,\mu_2,\dots,\mu_p\) sind Eigenwertparameter.
Von diesem Entwicklungssatz wird eine allgemeinere Fassung gegeben im Zusammenhang mit einer linearen homogenen partiellen Differentialgleichung mit \(p\) Variablen.

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