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Complément au mémoire. ”Sur la géométrie des groupes simples”. (French) JFM 54.0445.06
Vom Verf. (Annali di Mat. (4) 4 (1927), 209-256; F. d. M. 53, 392 (JFM 53.0392.*)-393) sind die Fundamentalbereiche \(D\) bzw. \(P\) der ausgearteten Ähnlichkeiten der maximalen Abelschen Untergruppe einer infinitesimalen bzw. endlichen einfachen Gruppe eingeführt worden sie lassen sich so wählen, daß sie durch Hyperebenen im \(l\)-dimensionalen Raum der Winkelparameter begrenzt sind. Zu \(D\) gehört die Weylsche Gruppe \(S\) (M. Z. 24 (1925), 328-395 (F. d. M. 51, 319), insbesondere S. 367). \(P\) unterscheidet sich dadurch von \(D\), daß zu einem gewissen Gitter im Winkelparameterraum die gleiche endliche Transformation gehört. Der für die topologische Untersuchung des Darstellungsraumes der Gruppe wichtige Satz, daß \(P\) von \(l+1\) Hyperebenen begrenzt wird, folgte in der oben zitierten Arbeit aus Betrachtungen der einzelnen einfachen Typen. Hier wird er allgemein bewiesen. Aus einem allgemeinen geometrischen Satz (dessen Formulierung eine, allerdings unwesentliche, Lücke enthält) schließ t Verf., daß \(D\) von \(l\) Hyperebenen begrenzt wird. \(P\) wird dann durch dieselben Hyperebenen begrenzt und eine weitere, die sich nach Festlegung der Grundwurzeln beim Nullsetzen der höchsten Wurzel ergibt. Diese höchste Wurzel ist bei einfachen Gruppen eindeutig bestimmt. Bei halbeinfachen treten dagegen so viel neue Begrenzungsflächen hinzu, wie die Zahl der einfachen Bestandteile angibt.
Mit derselben Methode überzeugt sich Verf. von der Ganzzahligkeit des Kombinationskoeffizienten bei Spiegelung eines Darstellungsgewichtes an einer Wurzel.

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References:
[1] T. IV, 1927, pp. 209-256.
[2] Loc. cit., p. 218 et suivantes.
[3] Loc. cit., p. 215.
[4] Cartan, E., Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math. de France, 41, 53-96 (1913) · JFM 44.0170.02
[5] Weyl, H., Math. Zeitschr., 24, 369-369 (1925)
[6] E. Cartan, Bull. Soc. Math. de France, 41, 1913; loc. cit., n. 12.
[7] Weyl, H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen, Math. Zeitschr., 24, 382-389 (1925)
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