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Some properties of fractional integrals. I. (English) JFM 54.0275.05
Nach Liouville-Riemann pflegt man für nicht notwendig ganzes \(\alpha>0\) \[ f_\alpha(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_A^x (x-t)^{\alpha-1} f(t)dt \] als \(\alpha\)-fach iteriertes Integral und für \(0<\beta<1\) \[ f^{(\beta)}(x)=\frac{d}{dx} f_{1-\beta}(x) \] als \(\beta\)-te Ableitung von \(f(x)\) anzusehen. Diese Definition hängt noch von dem “Anfangswert” \(A\) ab.
Es handelt sich nun darum, wenn \(f(x)\) gewissen Lebesgueschen Klassen angehört bzw. gewissen Lipschitzschen Bedingungen genügt, die \(f_\alpha\) und \(f^{(\beta)}\) auf analoge Eigenschaften zu untersuchen. Von den zahlreichen überaus interessanten Ergebnissen können hier nur die prägnantesten genannt werden. Alle Beweise sind völlig reell.
I. (Theorem 4.) Es sei \[ p>1,\;0<\alpha<\frac 1p,\;q=\frac{p}{1-p \alpha};\;0<a<b \leqq \infty. \] \(f(x)\) gehöre in \((a,b)\) zur Lebesgueschen Klasse \(L^p\). Dann gehört \(f_\alpha(x)\) (mit \(A=a\)) in \((a,b)\) zur Lebesgueschen Klasse \(L^q\), und es gilt \[ \int_a^b | f_\alpha(x)|^q dx \leqq K(p,\alpha) \;\left( \int_a^b | f(x)|^p dx \right)^{\frac pq}. \] II. Theorem 14, 15.) Es sei \[ k \geqq 0,\;\alpha>0,\;k+\alpha<1. \] \(f(x)\) gehöre in \((a,b)\) zu \(\text{Lip}k\) bzw. \(\text{Lip}^* k\), d. h. es genüge den Lipschitzbedingungen \[ f(x)-f(x-h)=O(h^k)\;\text{bzw.}\;o(h^k) \] gleichmäßig für alle \(a \leqq x-h<x \leqq b\).
Ferner sei auch \[ f(x)=O(x-a)^k\;\text{bzw.}\;o(x-a)^k \] für kleine \(x-a>0\).
Dann gehört \(f_\alpha(x)\) (mit \(A=a\)) zu \(\text{Lip}(k+\alpha)\) bzw. \(\text{Lip}^*(k+\alpha)\).
Diese Sätze gelten auch mit \(a=0,b=2\pi\), wenn \(f(x)\) die Periode \(2\pi\) hat, \[ \int_0^{2\pi} f(x)dx=0 \] ist und der Anfangswert \(A=-\infty\) genommen wird. (Theorem 5 und 18.) Dies ist für die Anwendungen auf Fourierreihen wichtig. Auch in den folgenden Sätzen ist dies vorausgesetzt.
III. (Theorem 19 (Verallgemeinerung eines Satzes von Weyl) und 20.)
Es sei \(0<\beta<k \leqq 1\). \(f(x)\) gehöre zu \(\text{Lip} k\) bzw. \(\text{Lip}^* k\). Dann existiert \(f^{(\beta)}(x)\), ist stetig und \(f(x)\) ist das \(\beta\)-te Integral von \(f^{(\beta)}(x)\). Überdies gehört \(f^{(\beta)}(x)\) zu \(\text{Lip}(k-\beta)\) bzw. \(\text{Lip}^*(k-\beta)\).

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