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Über Sequenzen von Potenzresten. (German) JFM 54.0169.02
Es wird bewiesen, daß es bei beliebig gegebenen \(k,l\) zu jeder hinreichend großen Primzahl \[ p \equiv 1 \mod k\;(p>p_0(k,l)) \] eine Sequenz \(a,a+1,\dots,a+l-1\) von \(l\) \(k\)-ten Potenzresten und eine Sequenz \(b,b+1,\dots,b+l-1\) von \(k\)-ten Nichtresten ein- und derselben Nichtrestklasse gibt. Der Beweis beruht auf einem kombinatorischen Satz von van der Waerden (1927; F. d. M. 53, 73 (JFM 53.0073.*)-74).
Es wird noch die folgende mündlich von I. Schur mitgeteilte Verallgemeinerung dieses Satzes bewiesen:
Verteilt man bei beliebig gegebenen \(k,l\) und hinreichend großem \(N\) \((N > N_0(k,l))\) die Zahlen \(1,2,\ldots,N\) irgendwie auf \(k\) Klassen, so enthält mindestens eine Klasse eine arithmetische Progression von Gliedern, deren Differenz ebenfalls zu dieser Klasse gehört.
Bei van der Waerden wurde die letzte Bedingung nicht gefordert.

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