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Leçons sur les nombres transfinis. (French) JFM 54.0087.01
Paris: Gauthier-Villars (Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de E. Borel). VI, 240 p. (1928).
Das vorliegende Buch, zu dem E. Borel ein Vorwort geschrieben hat, gibt eine ausführliche Darstellung der klassischen abstrakten Mengenlehre. Verf. legt seiner Darstellung den unkritischen Mengenbegriff Cantors zugrunde und entwickelt im ersten Kapitel die Grundbegriffe Untermenge, Vereinigungsmenge, Durchschnitt, limes superior und inferior einer Mengenfolge, Abbildung. Im zweiten Kapitel wird die Äquivalenz von Mengen und das Rechnen mit Kardinalzahlen, im dritten die Theorie der abzählbaren Mengen behandelt. Dabei wird die Dedekindsche Definition der unendlichen Menge und die Diskussion dieser Definition bei anderen Autoren erörtert. Im vierten Kapitel beschäftigt Verf. sich mit den Mengen von der Mächtigkeit. des Kontinuums. Das fünfte Kapitel ist dem Cantor-Bernsteinschen Äquivalenztheorem gewidmet; dabei wird auch die Kontinuumhypothese erwähnt, doch geht Verf. auf die ausgedehnte Literatur, die daran anschließt, nicht naher ein. Das sechste Kapitel bildet den Abschluß des ersten Hauptteils (“Kardinalzahl”) des Werkes; es beschäftigt sich mit dem Auswahlaxiom.
Im zweiten Hauptteil behandelt Verf. in fünf Kapiteln die klassische Theorie der Ordnungszahlen; den Abschluß bildet der Beweis des Wohlordnungssatzes und eine Erörterung seiner Bedeutung für das Problem der Vergleichbarkeit zweier Mengen.
Inhaltsverzeichnis. Erster Teil: Kardinalzahlen. I. Allgemeine Eigenschaften der Mengen. II. Mächtigkeiten und Kardinalzahlen. III. Abzählbare Mengen. IV. Mengen von der Mächtigkeit des Kontinuums. V. Ungleichungen für Kardinalzahlen. VI. Das Auswahlaxiom und seine Anwendungen.
Zweiter Teil: Ordinalzahlen. VII. Ordnungstypen. VIII. Operationen mit Ordnungstypen. IX. Wohlgeordnete Mengen. X. Die Arithmetik der Ordnungszahlen. XI. Die Klassen von Ordnungszahlen und die Alefs. XII. Das Theorem von Zermelo und seine Anwendungen.
Besprechungen: Mathesis 43 (1928), 417-418. l. o.; Bollettino U. M. I. 8 (1929), 111-112. G. T. Whyburn; Bulletin A. M. S. 36 (1930), 175-176. A. Fraenkel; Jahresbericht D. M. V. 39 (1930), 74-76 kursiv.