×

zbMATH — the first resource for mathematics

Die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluß der Schwere und einer Newtonschen Zentralkraft. (German) JFM 53.0738.02
Acta Soc. sc. Fennicae (2) A, 1, Nr. 2, 77 S. (1927).
Obgleich das hier behandelte Problem in dem in der vorhergehenden Abhandlung durchgeführten allgemeineren als Grenzfall enthalten ist, zieht Verf. eine unmittelbare Behandlung vor. Dem Ansatz der Bewegungsgleichungen wird ein parabolisches Koordinaten-System zugrunde gelegt, dessen Brennpunkt in die Zentralmasse hineingelegt wird, und dessen Achse mit der Richtung des homogenen (Schwere-)Feldes übereinstimmt. Das Energieintegral gibt für die Niveaulinien konstanter Bahngeschwindigkeit die von Schlömilch 1878 und Huber 1895 untersuchten Konchalen, für deren Punkte das Produkt aus dem Abstände von einem festen Punkt und einer Geraden konstant ist. Hierbei tritt der für die Diskussion der Bahntypen wichtige Umstand auf, daß die Linie, die dem Null-Niveau der Geschwindigkeit zugeordnet ist, zwar nur einen Teil der ersten Parabelschar (\(\lambda = \text{const.}\)) aber alle der zweiten (\(\mu = \text{const.}\)) schneidet.
Der Hamilton-Jacobische Ansatz führt auf die intermediären Integrale \[ (\lambda-\mu)\frac{d\lambda}{dt}=\pm\sqrt{R(\lambda)},\quad (\lambda-\mu)\frac{d\mu}{dt}=\sqrt{S(\mu)}, \] wobei \[ \begin{aligned} R(\lambda)&=2\lambda(\alpha+\tfrac12m+h\lambda-g\lambda^2)\\ S(\mu)&=2\mu(\alpha-\tfrac12m+h\mu-g\mu^2) \end{aligned} \] ist und \(g\) die Schwere-, \(h\) die Energie- und \(\alpha\) die Jacobische Integrationskonstante bedeuten. Aus den Nullstellen von \(R\), bzw. \(S\) ergeben sich die Grenzen der Bewegungsgebiete. Der Massenpunkt kann sich bewegen: (1) Auf einer \(\lambda\)-Parabel ins Unendliche, (2) auf einer \(\mu\)-Parabel zwischen den beiden Schnittpunkten mit der Null-Konchale, (3) in einem von einer \(\lambda\)- und einer \(\mu\)-Parabel ausgeschnittenen Zweieck, (4) in dem im Innern einer \(\lambda\)-Parabel durch eine \(\mu\)-Parabel abgegrenzten Außengebiet, (5) im Streifen zwischen zwei \(\lambda\)-Parabeln und (6) geradlinig auf der Achse der Parabelscharen, in der einen Richtung nur bis zum Schnittpunkt mit der Null-Konchale. Im übrigen wird der Bewegungsverlauf völlig analog dem Verfahren in der vorhergehenden Abhandlung mit Hilfe der Weierstraßschen Normalform diskutiert und für die numerische Auswertung und Konstruktion der Bahnkurven werden wieder die Legendreschen Formeln und Tabellen herangezogen. (10 Tabellen mit 10 Figuren).
Im dritten Teil erfolgt die Erweiterung auf den Raum, wenn eine Komponente der Anfangsgeschwindigkeit quer zur Ebene durch Anziehungszentrum, Kraftrichtung und Massenpunkt vorhanden ist. Für die zur Beschreibung der Raumbewegung notwendige dritte Koordinate wird der Drehwinkel dieser Ebene um die Achse eingeführt, zu der — als zyklische Koordinate — eine konstante Impuls-Komponente gehört, nämlich die doppelte Flächengeschwindigkeit \(\gamma\) der Projektion des Fahrstrahls auf eine zur Achse senkrechte Ebene. Die Ausdrücke für \(R\), \(S\) unterscheiden sich von den entsprechenden für den ebenen Fall durch das konstante Zusatzglied — \(\frac14\gamma^2\). Dadurch ergibt die dritte Nullstelle nicht mehr die Achse, sondern eine neue, das Bewegungsgebiet weiter einschränkende Parabel. Da die vollständige Darstellung der räumlichen Bahnkurven mit der beschwerlichen Auswertung elliptischer Integrale dritter Gattung verbunden ist, beschränkt sich Verf. auf die Herstellung der relativen Bahnen in der \(\lambda\mu\)-Ebene. Das Ergebnis ist in 4 Tabellen und 3 Figuren enthalten.