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Zur allgemeinen Kurventheorie. (German) JFM 53.0561.01
Eine “Kurve” ist ein kompakter zusammenhängender eindimensionaler Raum. Ein Kurvenpunkt ist “regulär”, wenn er beliebig kleine Umgebungen mit endlichen Begrenzungen besitzt; er ist “von höchstens \(n\)-ter Ordnung”, wenn diese Begrenzungen sich so angeben lassen, daß jede von ihnen höchstens \(n\)-Punkte enthält. Eine Kurve ist regulär bzw. von \(n\)-ter Ordnung, wenn alle ihre Punkte regulär bzw. von \(n\)-ter Ordnung sind. – Im 1. Teil der Arbeit wird bewiesen: “In einer regulären Kurve gibt es zu jedem Punkt \(p\) der \(n\)-ten Ordnung \(n\) in \(p\) endende, sonst fremde Bögen”, und eine analoge Aussage über die regulären Punkte “wachsender” Ordnung, (bei denen die Anzahl der Begrenzungspunkte beliebig kleiner Umgebungen zwar endlich, aber unbeschränkt ist). Der 2. Teil beschäftigt sich mit “umfassendsten” Kurven; das Hauptergebnis ist hier: “Es gibt, und zwar in der Ebene, Baumkurven, die ein topologisches Bild jeder Baumkurve enthalten; für jedes \(n\) gibt es unter diesen solche, die selbst die Ordnung \(n\) haben, und ein topologisches Bild jeder Baumkurve \(n\)-ter Ordnung enthalten”. Dabei ist, wie üblich, eine Baumkurve eine Kurve, die kein topologisches Bild eines Kreises enthält. Der 3. Teil handelt von den Punkten “unendlicher Ordnung”: der nicht reguläre Punkt \(p\) der Kurve \(K\) heißt “halbregulär”, wenn er beliebig kleine Umgebungen mit abzählbaren Begrenzungen besitzt; ist \(a\) eine Ordinalzahl, so heißt \(p\) “vom Geschlecht \(\leqq a\)”, wenn beliebig kleine Umgebungen existieren, deren Begrenzungen leere \(a\)-te Ableitungen besitzen, und \(p\) heißt “vom Geschlecht \(a\)”, wenn \(a\) die kleinste Zahl dieser Eigenschaft ist. (Die \(a\)-te Ableitung ist dabei induktiv definiert.) Der Punkt \(p\) vom Geschlecht \(a\) heißt vom “Typus \((a, n)\)”, wenn die \((a-1)\)-ten Ableitungen von Begrenzungen beliebig kleiner Umgebungen \(n\) Punkte enthalten und \(n\) die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Es wird gezeigt: “Für jedes \(a\) ist die Menge der Punkte von einem Geschlecht \(>a\) entweder leer oder ein \(F_{\sigma}\), das zu jedem seiner Punkte ein ihn enthaltendes Teilkontinuum enthält”, und: “Ist \(a\) eine isolierte Zahl der 1. oder 2. Zahlklasse, und \(p\) vom Typus \((a, n)\), so ist \(p\) von einem Typus \(\geqq (1,n)\) für die Menge der Punkte von \(K\), deren Geschlecht \(\geqq a\) ist.” (Dabei ist \((b,m)>(c,n)\), wenn entweder \(b>c\) oder \(b=c\), \(m>n\) ist.)

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