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La géométrie des groupes simples. (French) JFM 53.0392.03
Diese Arbeit des Verf. bildet zusammen mit der nächstfolgend referierten die Fortsetzung der Arbeit des Verfassers aus Bulletin S. M. F. 54 (1926), 214-264; 55 (1927), 114-134 (F. d. M. 53, 390 (JFM 53.0390.*)-391). Dort wurden die Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit positiv definitem irreduziblem \(ds^2\) und parallelverschiebungsinvarianter Krümmung untersucht. Diese Räume \(\mathfrak E\) gestatten eine transitive Bewegungsgruppe. Hier werden die positiv gekrümmten Räume \(\mathfrak E\) mit halbeinfacher Bewegungsgruppe und die zugehörigen negativ gekrümmten Räume weiter untersucht. Jene sind Darstellungsräume einfacher unitärer Gruppen; ihre Bewegungsgruppe ist das direkte Produkt zweier der dargestellten isomorphen reellen Gruppen und wird von den Rechts- und Linksmultiplikationen der Gruppe erzeugt; ihre Isotropiegruppe ist die adjungierte der dargestellten Gruppe. Die Bewegungsgruppe der zugehörigen negativ gekrümmten Räume ist der komplexen gegebenen Gruppe isomorph; ihre Isotropiegruppe ist wieder die adjungierte. Die negativ gekrümmten Räume \(\mathfrak E\) lassen sich wie im allgemeinen Fall (F. d. M. 53, 391 (JFM 53.0391.*)) als geodätische Mannigfaltigkeiten im Darstellungsraum der Bewegungsgruppe auffassen; sie sind einfach zusammenhängend, weil die endliche Transformation die infinitesimale eindeutig festlegt. Je zwei Punkte sind eindeutig durch einparametrige Untergruppen (geodätische Linien des \(ds^2\)) verbindbar. Die Räume sind offen, das Verhalten der geodätischen Linien im Unendlichen läßt sich im einzelnen untersuchen.
Schwieriger zu behandeln sind die positiv gekrümmten Räume; sie sind geschlossen, aber nicht notwendig einfach zusammenhängend. Die endliche Transformation bestimmt nämlich die infinitesimale nicht notwendig eindeutig. Es gibt aber im Raum der Winkelparameter ein Fundamentalpolyeder (Fundamentalbereich der Weylschen Gruppe \(S\); M. Z. 24 (1925), 367), das auf die endlichen Tranformationen eindeutig bezogen ist. Je nach seiner Lage zum Gitter der ganzzahligen Winkelparameter bestimmt sich der Zusammenhang des Raumes \(\mathfrak E\). Dieser wird bei den einzelnen Typen untersucht. Für jeden Typ gibt es eine Realisation der abstrakten einfach zusammenhängenden Überlagerungsgruppe. Die gemischte adjungierte Gruppe besteht aus 1, 2 oder 6 Familien, die Isotropiegruppe aus 2, 4 oder 12 Familien.
Einparametrigen Untergruppen entsprechen geodätische Linien des Darstellungsraums, Abelschen Untergruppen geodätische Mannigfaltigkeiten mit euklidischem \(ds^2\), deren Zusammenhang durch die Lage des Fundamentalpolyeders bestimmt wird. Singulären Transformationen entsprechen geodätische Linien, die mehreren solchen Mannigfaltigkeiten angehören. Ihr Vorhandensein erhöht die Komplizierungen in der Verteilung der geodätischen Linien, die durch den mehrfachen Zusammenhang entstehen. Den Gitterecken, die zum Fundamentalpolyeder gehören, entsprechen ‘antipodische” Mannigfaltigkeiten, deren Punkte sich mit dem Einheitspunkt nicht isoliert geodätisch verbinden lassen. Diese, sowie die geschlossenen geodätischen Linien lassen sich bei den einzelnen Typen untersuchen.

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References:
[1] Cartan, E., La Géométrie des groupes de transformations, J. Math. pures et appl., 6, 1-119 (1927) · JFM 53.0388.01
[2] Cartan, É.; Schouten, J. A., On the Geometry of the Group-manifold of simple and semi-simple groups, Proc. Akad. Amsterdam, 29, 803-815 (1926) · JFM 52.0422.04
[3] La détermination de tous ces espaces est faite dans un mémoire dont la première partie vient de paraître. (Bull. Soc. Math. de France, t. 54, 1924, pp. 214-264). Voir aussiÉ. Cartan,Sur les espaces de Riemann dans lesquels le transport par parallélisme conserve la courbure. (Rend. Acc. Lincei, (6), t. 3^1, 1926, pp. 544-547). · JFM 52.0743.03
[4] Weyl, H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr., 23, 271-309 (1925) · JFM 51.0319.01
[5] Cartan, E., Les lenseurs irréductibles et les groupes linéaires simples et semi-simples, Bull. Sc. Math., 2ème série, 49, 130-152 (1925) · JFM 51.0322.01
[6] Le lecteur pourra à cet égard, se reporter à ma Thèse (Paris, Nony, 1894) ou an mémoire précédemment cité deH. Weyl; la lecture du mémoire cité dans la note (1) page 209, ne sera pas non plus inutile.
[7] Cartan, E., Les tenseurs irréductibles et les groupes linéaires simples et semi-simples, Bull. Sc. Math., 2ème série, 49, 135-135 (1925) · JFM 51.0322.01
[8] Voir, pour ce paragraphe et le snivant, le mémoire cité dans la note précédente, pp. 134-146.
[9] L’entierl est le rang du groupe; c’est le nombre des coefficients de l’équation caractéristique du groupe qui sont indépendants. VoirE. Cartan,Thèse (Paris, Nony, 1894), p. 29.
[10] Cartan, E., Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples, Bull. Sc. Math., 2ème série, 49, 365-366 (1925) · JFM 51.0322.02
[11] Weyl, H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr., 24, 367-371 (1925)
[12] Math. Zeitschr., t. 24, 1925, p. 379.
[13] Math. Zeitschr., t. 24, 1925, pp. 380-381.
[14] Les expressions générales des paramètres angulaires correspondant aux différents types simples se trouvent indiquées dans:E. Cartan,Thèse, pp. 81-93.
[15] Weyl, H., a démontré ce théorème pour les quatre grands types de groupes simples; pour les types exceptionnels, il a simplement montré que le groupe de connexion est fini, Math Zeitschr., 24, 380-381 (1925)
[16] Bull. Sc. Math., (2), t. 49, pp. 130-152, spécialement p. 150.
[17] Cartan, É., La Géométrie des groupes de transformations, J. de Math., 6, 1-119 (1927) · JFM 53.0388.01
[18] Cartan, É., Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples, Bull. Sc. Math., 2ème série, 49, 361-374 (1925) · JFM 51.0322.02
[19] VoirF. Enriques,Fondements de la Géométrie. (Encycl. Sc. Math., t. III, vol. I, fase. I, pp. 133-136). Nous distinguons iei les formes deKlein et les formes deClifford, au lieu de les confondre toutes, comme on le fait d’habitude, sons le nom de formes deClifford-Klein.
[20] VoirE. Study-E. Cartan,Nombres complexes. (Encycl. Sc. Math., 15, n.^o 31, pp. 438-440).
[21] Cartan, É., La Géométrie des groupes de transformations, J. Math., 6, 71-75 (1927) · JFM 53.0388.01
[22] Weyl, H., Les tenseurs irréductibles, etc., Bull. Sc. Math., 2ème série, 49, 132-159 (1925)
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