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On integral functions of order \(<1\). (English) JFM 53.0294.05
Es wird eine Reihe von Sätzen bewiesen, die den Beziehungen zwischen Maximalmodul \(M(r)\) und Minimalmodul \(m(r)\) nahe verwandt sind und sie in speziellen Fällen enthalten und verschärfen. Sei \[ \mathfrak M(r)=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1+\frac{r}{|a_i|}\right),\quad \mathfrak m(r)=\prod_{i=1}^{\infty}\left|1-\frac{r}{|a_i|}\right|; \] dann liegen \(M(r)\) und \(m(r)\) zwischen diesen Größen; dann und nur dann werden sie ihnen bzw. gleich, wenn alle Nullstellen des Produktes dasselbe Argument haben. Es sei \(E\{u (r) > v (r)\}\) die Menge aller Werte \(r\), die die Ungleichung in der Klammer erfüllen; es werde der Quotient aus dem Maße der in \([0, r]\) gelegenen Teilmenge von \(E\) durch \(r\) gebildet und sein lim inf als untere Dichte von \(E\) bezeichnet; analog werden obere Dichte und Dichte schlechthin erklärt.
Für ganze Funktionen der Ordnung Q wird bewiesen: \[ \begin{matrix}\l\quad &\quad\l\quad &\quad \l\quad &\quad\l\quad\\ \text{I.} & \hfill\text{Sei}\hfill & \hfill\text{die obere Dichte von}\hfill & \text{wird}\\ &0 < \varrho<\varrho'< 1; & E \{\mathfrak m(r) > [\mathfrak M(r)]^{\cos\pi\rho'}\} & \geqq 1-\dfrac{\varrho}{\varrho}, \\ &0<\varrho<\dfrac12; & E\{\mathfrak m(r)>e^{r^{\rho-\varepsilon}}\} & \geqq 1-2\varrho,\\ &\varrho = 0; & E\{\mathfrak m(r)>[\mathfrak M(r)]^{1-\varepsilon}\} & =1 \;\text{für jedes} \;\varepsilon > 0. \end{matrix} \]
II. Es werden Funktionen konstruiert, so daß \[ \begin{matrix} \quad & \\ \text{für} & \text{die untere Dichte von}\\ 0<\varrho<1 & E\{\mathfrak m(r)>e^{-r^{\rho-\varepsilon}}\} \\ \varrho=0 & E\{\mathfrak m(r) > 1\} \end{matrix} \] verschwindet. Anderseits sind Funktionen bekannt, für die die Dichte gleich 1 ist [Wiman’s Funktionen mit regulärem Wachstum].
Die Bemerkung des Verf. in § 3, man könne den Littlewood-Wimanschen Satz formulieren als: “Die Menge \(E\{\mathfrak m(r)>[\mathfrak M(r)^{(\cos\pi\rho)-\varepsilon}\}\) ist nicht beschränkt” (der Littlewood-Wimansche Satz lautet analog mit Verwendung der lateinischen \(m\), \(M\)) scheint uns nicht richtig zu sein: Man kann diese Beziehung im allgemeinen Fall nicht aus dem Littlewood-Wimanschen Satze erschließen; und auch umgekehrt folgt aus ihr der Littlewood-Wimansche Satz nur für die Ordnungen kleiner als \(\frac12\). Es handelt sich um ein Analogon des Littlewood-Wimanschen Satzes, dessen Richtigkeit sich aus den Sätzen des Verf. ergibt.

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References:
[1] Wiman, ?ber die angen?herte Darstellung von ganzen Funktionen, Ark. f?r Mat. Astron. och Fys.1 1903.
[2] We here have reproduced almost exactly Littlewood’s calculations.
[3] Littlewood, A general theorem on integral functions of finite order. Proceedings of the Lond. Math. Soc. (2)6 (1908), p. 189-204. A. Wiman, ?ber die Eigenschaften der ganzen Funktionen von der H?he Null. Math. Ann.76 (1915), S. 197-211. · JFM 39.0485.01 · doi:10.1112/plms/s2-6.1.189
[4] At that time I did not know of the existence of Wiman’s proof. My proof is based on the idea of deforming the curve of roots, but not quite in the same way as in this paper. A few copies of my proof were published then in Russian; it appeared afterwards in German in the Bulletin de l’Acad. des Sciences de Russie, 1924.
[5] Clearly the ? may be omitted.
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