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Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe. (German) JFM 53.0116.03
Es handelt sich um eine systematische Theorie der Beziehungen zwischen den Idealen aus Ober- und Unterring, allgemeiner eines Systems von Ringen, wovon nur eine Reihe von Einzeltatsachen im Spezialfall von Zahlkörper und Polynombereich schon vorlagen.
Die Grundbeziehungen lassen sich ohne Voraussetzung irgendeiner Endlichkeitsbedingung formulieren; sie beruhen auf dem Begriff von Erweiterungs- und Verengungsideal, der dadurch unter den Idealen bedingten Klasseneinteilungen und deren eineindeutiger Zuordnung. Es handelt sich hier um eine konsequente, sehr weitgehende Fortentwicklung der ursprünglichen Dedekindschen Ansätze (Beziehungen zwischen den zum Führer teilerfremden Idealen aus einer beliebigen Ordnung zu denen der Hauptordnung). Diese Resultate werden auf beliebige Systeme von Ringen übertragen; als spezielle Anwendung ergibt sich die Theorie des Quotientenrings. Weiter wird gezeigt, wie die Dedekindsche Theorie der zum Führer teilerfremden Ideale sich für beliebige Binge fassen läßt, und es wird die der Führerzerlegung entsprechende Ringzerlegung gegeben, womit als Spezialfall ein Furtwänglersches Resultat eingeordnet ist.
Vorausgeschickt wird eine Theorie der “Modul- und Idealkörper”, d. h. der in bezug auf die Operationen der Summen-, Durchschnitt-, Produkt- und Quotientenbildung abgeschlossenen Bereiche aus Moduln und Idealen. Auch die Resultate der Arbeit werden, soweit möglich, allgemein für Idealkörper in Ringen abgeleitet. (Siehe auch Abschn. II, Kap. 7.)

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References:
[1] F?r die hier auftretenden Begriffe ?Hauptordnung?, ?Ordnung?, ?prim?re Komponenten? usw. siehe E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenk?rpern, Math. Annalen96 (1926), S. 26-61 (zitiert mit N). Als Ordnung eines algebraischen Zahlk?rpers bezeichnet man mit Dedekind jeden darin enthaltenen Ring aus ganzen algebraischen Zahlen, der das System aller ganzen rationalen Zahlen umfa?t. · JFM 52.0130.01
[2] R. Dedekind, ?ber die Discriminanten endlicher K?rper, Abhandlungen der G?ttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882).
[3] D. Hilbert, Zahlbericht, ? 38-47.
[4] R. Dedekind, Zur Theorie der Ideale, G?ttinger Nachrichten 1894, S. 272 ff.
[5] R. Dedekind, ?ber die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen K?rpers. Braunschweig 1877. · JFM 09.0130.01
[6] Nach pers?nlicher Mitteilung durch Manuskripte.
[7] Hentzelt-Noether, Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten, Math. Annalen88 (1922), S. 53-79. · JFM 48.0094.03
[8] E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Annalen90 (1923), S. 229-261. · JFM 49.0076.04
[9] G. Hermann, Die Frage der endlichvielen Schnitte in der Theorie der Polynomideale, Math. Annalen95 (1926), S. 736-788. · JFM 52.0127.01
[10] Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen ?ber Zahlentheorie, IV. Auflage, S. 434-657 (zitiert mit Z. IV; die III. Aufl. entspr. mit Z. III).
[11] Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. Auf diese Arbeit machte mich nachtr?glich E. Noether aufmerksam; vgl. auch die dann noch erschienene Note von W. Krull, Axiomatische Begr?ndung der allgemeinen Idealtheorie, Berichte der phys. med. Soziet?t in Erlangen56 (1924).
[12] Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.
[13] Ph. Furtw?ngler, ?ber die F?hrer von Zahlringen, Wiener Berichte128 (1919), S. 239-245, Satz 2.
[14] Vgl. die Fu?note zu S. 28 der in 2). zitierten Dedekindschen Arbeit.
[15] Vgl. hierzu N. Fu?note 6) Nach pers?nlicher Mitteilung durch Manuskripte.
[16] Vgl. Steinitz, Algebr. Theorie der K?rper, ? 1; Journal f. Math.137 (1910), S. 167-309.
[17] Die Axiome sind nat?rlich so gew?hlt, da? sie mit den S?tzen ?bereinstimmen, die f?r die in ?blicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. ? Unter einerModulgruppe ist im folgenden ein SystemM von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verkn?pfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der G?ltigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. erw?hnten Dedekindschen Arbeit.
[18] Diese Tatsache ist schon von Dedekind in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. erw?hnten Arbeit ausgesprochen und benutzt.
[19] Diese Definition der Teilerfremdheit gibt W. Krull in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. erw?hnten Note.
[20] Auf die Existenz eines zugeh?rigen Primideals l??t sich im allgemeinen nicht schlie?en, vgl. dazu 6.
[21] E. Steinitz, Algebr. Theorie der K?rper, ? 3; Journal f. Math.137 (1910).
[22] Ein Element hei?t regul?r, wenn es nicht Nullteiler ist. Soll die Gleichheit in P/G die ?blichen Gesetze erf?llen, so ist die Beschr?nkung aufregul?re Elemente als Nenner unbedingt notwendig. Beweis: Seia 1 ausG nicht regul?r, dann gibt es eina 2-0 aus P, so da?a 1?a 2=0 wird. Man h?tte dann bei Annahme der ?blichen Gleichheitsbedingungena 2=0/a 1=0, alsoa 2=0, im Widerspruch zua 2-0.
[23] C ist also insbesondere Modulgruppe.
[24] Vgl. Fu?note 17) Die Axiome sind nat?rlich so gew?hlt, da? sie mit den S?tzen ?bereinstimmen, die f?r die in ?blicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. ? Unter einerModulgruppe ist im folgenden ein SystemM von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verkn?pfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der G?ltigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. erw?hnten Dedekindschen Arbiet. Die Tatsachen von 1. verdanke ich einer Vorlesung, die hier gegebenen einfachen Beweise einem Manuskript von E. Noether. Entsprechend dem Zweck dieser Arbeit werden nur endlich viele Komponenten in Betracht gezogen.
[25] Der bei der Restklassenbildung auftretende, durch ? bezeichnete Kongruenzbegriff bezieht sich aufElemente (eines Ringes oder allgemeineren Modulbereichs) und wird demgem?? in dieser Arbeit nur bei diesen verwandt.
[26] Vgl. hier S. 393 der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371-403. zitierten Dedekindschen Arbeit.
[27] Bei der Formulierung dieser beiden S?tze wurde ich von E. Noether unterst?tzt.
[28] Offenbar bildet dieser Begriff des F?hrers samt seinen Darstellungsformen die genaue Verallgemeinerung dessen, was Dedekind in der in 2) R. Dedekind, ?ber die Discriminanten endlicher K?rper, Abhandlungen der G?ttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882). erw?hnten Arbeit ? 7 gibt.
[29] Siehe E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), S. 24-66. · JFM 48.0121.03
[30] Vgl. Fu?note 5, R. Dedekind, ?ber die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen K?rpers. Braunschweig 1877. ? 5 der dort erw?hnten Arbeit.
[31] Die Vielfachen- und Produktdarstellung sind nach N ? 4, 4 ? identisch.
[32] Nach Satz 3 aus ? 2, 1 l??t sich zun?chst nur (P)?(P)(f 1 ? )+...+(P)(f 1: ? ) aussagen.
[33] Dieser Satz bildet zusammen mit den Resultaten des ? 7 ein wesentliches Hilfsmittel, um den Proze? der Erweiterung beliebiger Ideale aus P nach ? oder den der Verengung beliebiger Ideale aus ? nach P in den Zwischenringen von P und ? genauer zu verfolgen. Unter Annahme von Endlichkeitsvoraussetzungen, die dem Doppelkettensatz ?hneln, hat W. Krull mit ringtheoretischen Methoden hierher geh?rige Untersuchungen durchgef?hrt; eine betreffende Arbeit wird bald erscheinen.
[34] Vgl. Fu?note 12. Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.
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