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On Riemannian geometries admitting an absolute parallelism. (English) JFM 52.0744.02
Auch in dieser Untersuchung (wie ebenso in der vorhergehenden) erweist sich der differentialgeometrische Begriff der “Übertragung” ursprünglicher und allgemeiner als derjenige der “Metrik”, und man erkennt das Bestreben der Verf., letzthin (auf höherer Differentiationsstufe) wieder das Ordnungsprinzip einer gruppentheoretischen Begründung aller Arten von Differentialgeometrien zu gewinnen, wie es bald nachher durch die Theorie der “Holonomiegruppen” erreicht wurde (vgl. É. Cartan, 1926 ; F. d. M. 52, 723 (JFM 52.0723.01)).
Dies führt auch zu einer tieferen Begründung absoluter (integrabler) Parallelismen, wie sie – vom euklidischen trivialen Falle abgesehen – namentlich aus der Theorie der Cliffordschen Parallelen im elliptischen dreidimensionalen Raum \(S_3\) bekannt sind. So kann man jeder einfachen oder halbeinfachen “Fundamentalgruppe” eine Riemannsche Geometrie zuordnen, und insbesondere im Falle einfacher Gruppen die Existenz jeweils zweier absoluter Parallelismen nachweisen. Sind dann die Parameter der Riemannschen symmetrischen Übertragung durch \(\overset {0} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\), diejenigen \(\overset {-} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\) der “überlagerten” (nichtsymmetrischen) linearen Übertragung, welcher die gleichen Geodätischen zukommen wie \(\overset {0} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\), allgemein durch \[ \overset {-} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu = \overset {0} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu + p_\lambda A_\mu^\nu + p_\mu A_\lambda^\nu + S_{\lambda\mu}^{\,\cdots \;\nu} \] gegeben, so besteht zunächst die Forderung \[ \overline \nabla _\omega g_{\lambda\mu}=0, \] d. h. der metrische Fundamentaltensor soll sich für die Übertragung \(\overset {-} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\) wie eine Konstante verhalten. Das hat das Verschwinden von \(p_\lambda\) und den Trivektorcharakter von \(S_{\lambda\mu\nu}\) zur Folge. Weiter besteht die Forderung der Integrabilität der Übertragung \(\overset {-} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\), welche das Verschwinden von \(\overline R_{\omega\mu\lambda}^{\;\cdots \;\nu}\) bedingt und auf die Beziehung \[ \overset {0} \nabla_\omega K_{\mu\lambda}=0 \] führt. D. h. Der verjüngte zu \(\overset {0} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\) gehörige Krümmungstensor \(K_{\mu\lambda}\) verhält sich unter den bestehenden Voraussetzungen gegenüber der Übertragung \(\overset {0} \varGamma{}_{\lambda\mu}^\nu\) notwendig wie eine Konstante. So gelangen die Verf. zu dem wichtigen Ansatz \[ K_{\mu\lambda}=cg_{\mu\lambda}, \] wo \(c\) eine (um den trivialen Fall \(K_{\omega\mu\lambda\nu}= 0\) auszuschließen) nichtverschwindende Konstante bedeutet. Eine weitere Beziehung liefert die Bianchische Identität \[ g_{\lambda\mu\nu}=\varrho S_{\lambda\mu\nu}\quad (g_{\lambda\mu\nu} =S_{\alpha\lambda}^{\cdots \;\beta}S_{\beta\mu}^{\cdots \;\gamma}S_{\gamma\nu}^{\cdots \;\alpha}) \] und für die beiden Konstanten die Relation \[ c = \pm 2\varrho. \] Während nun das positive Zeichen auf die bekannten und bereits behandelten Fälle – insbesondere für \(r = 3\) auf den Cliffordschen Parallelismus im elliptischen \(S_3\) – zurückführt, ergibt die Wahl \(c = - 2\varrho\) eine neue Geometrie, welche sich im elliptischen \(S_7\) realisieren läßt. Ihre Holonomiegruppe \(\varGamma\) ist durch die Gruppe aller Rotationen, welche die Krümmungsform \[ R = K_{ijkl}x^iy^jx^ky^l \] invariant lassen, oder eine ihrer Untergruppen gegeben. Die Gruppe \(\varGamma\) läßt unter den getroffenen Voraussetzungen keine \(p\)-Richtung invariant; sie ist ferner eine einfache Gruppe und von der Ordnung \(r = 2n\). Es kommt dann nur noch darauf an, zu zeigen, welche Typen einfacher Gruppen, die eine nichtsinguläre quadratische Form, aber keine lineare Mannigfaltigkeit invariant lassen, die Ordnung \(3n\) besitzen. Diese Frage wird mit Methoden früherer Untersuchungen eines der beiden Verf. (vgl. É. Cartan, Bulletin S. M. F. 41 (1913), 53-96; F. d. M. 44, 170 (JFM 44.0170.*)) entschieden und führt auf die Identität der Gruppe \(\varGamma\) (für \(c = - 2\varrho\)) mit der orthogonalen Gruppe in sieben Variablen. Wie der entsprechende Ausdruck für die Form \(R\) verrät, handelt es sich um die Geometrie eines elliptischen siebendimensionalen Raumes. Um in Analogie zur Quaternionendarstellung elliptischer dreidimensionaler Bewegungen auch hier eine elegante hyperkomplexe Darstellung zu gewinnen, bedienen sich die Verf. der Graves-Cayleyschen hyperkomplexen Zahlen: \[ \begin{gathered} X = x_0 +\sum_{i=1}^7 x_ie_i; \\ e_i^2=-1, \;e_i=e_{i+1}e_{i+3}=-e_{i+3}e_{i+1}=e_{i+2}e_{i+6},\\ -e_{i+6} e_{i+2}=e_{i+4}e_{i+5}=-e_{i+5}e_{i+4}; \;e_i=e_{i+7}\\ (i=1,2, \ldots,7) \end{gathered} \] mit dem Modul: \(\sqrt {x_0^2+x_1^2+ \cdots +x_7^2}\,=1\). (Die \(x_0, x_1,\ldots, x_7\) sind projektive Koordinaten in \(S_7\).) In diesem Kalkül kann jeder Parallelismus des \(S_7\) in einer der beiden Formen \[ Y'(X'{}^{-1}A) = Y(X^{-1}A),\quad (AX'{}^{-1})Y'=(AX^{-1})Y \] dargestellt werden \((X^{-1}= x_0-\sum_{i=1}^7 x_ie_i)\), wobei unter \(A\) eine beliebige feste Zahl des Graves-Cayleyschen Systems zu verstehen ist. Man erhält so zwei kontinuierliche Scharen absoluter Parallelismen. Auch hier stehen die entwickelten Verhältnisse in enger Beziehung zu Transformationseigenschaften der absoluten \(M_6^2\) des \(S_7\) \[ x_0^2 + x_1^3+ \cdots x_7^2 = 0, \] insbesondere zu denen ihrer linearen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (\(P_3^+\)) bzw. (\(P_3^-\)). Man gelangt auf diesem Wege zu einem “Trialitätsprinzip”, mit dessen Hilfe Entfernungen von Paaren von (+) oder (\(-\)) Parallelismen definiert werden können und anderes mehr (vgl. É. Cartan, Bulletin sc. Math. 49 (1925), 361-374; F. d. M. 51, 322 (JFM 51.0322.02).

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