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Über stetige Abbildungen kompakter Räume. (German) JFM 52.0584.03
Eine eindeutige stetige Abbildung \(f\) eines abstrakten Raumes \(R\) (der den ersten drei Hausdorffschen Axiomen und einem abgeschwächten Trennungsaxiom genügt (vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914; F. d. M. 45, 123 (JFM 45.0123.*)), S. 213)) auf einen Raum \(R^*\) bestimmt durch die Originalmengen der einzelnen Punkte von \(R^*\) eine Zerlegung des Raumes \(R\) in zueinander fremde abgeschlossene Mengen, deren durch die Stetigkeit von \(f\) bedingte Eigenschaften bekannt sind. Verf. definiert nun zu jeder Zerlegung des Raumes \(R\) in zueinander fremde abgeschlossene Mengen einen Zerlegungsraum \(R^*\) durch die Vorschrift: Punkte \(x^*\) von \(R^*\) sind die Mengen \(X\) der Zerlegung von \(R\); Umgebung des durch \(X_0\) bestimmten Punktes \(x_0^*\) ist die Gesamtheit der \(x^*\), deren zugeordnete Mengen \(X\) in einer \(X_0\) enthaltenden offenen Menge von \(R\) enthalten sind. Die systematische Untersuchung der Beziehungen zwischen stetigen Abbildungen und Zerlegungsräumen bildet den Gegenstand dieser Arbeit. (Für den Fall der Ebene vgl. R. L. Moore, Transactions A. M. S. 27 (1925), 416-428; F. d. M. 51, 464 (JFM 51.0464.*)-465.)
Eine Zerlegung heißt stetig, wenn es zu jeder Zerlegungsmenge \(X_0\) und jedem \(X_0\) enthaltenden Gebiet \(G\) ein Gebiet \(G_0\), \(X_0 \subset G_0 \subset G\), gibt, so daß alle Zerlegungsmengen \(X\), für die \(G_0 X \neq 0\), ganz in \(G\) enthalten sind. Es gilt: Die durch die Zerlegung bestimmte Abbildung von \(R\) auf den Zerlegungsraum ist dann und nur dann stetig, wenn die Zerlegung stetig ist.
Unter den bisher gemachten geringen Voraussetzungen braucht aber der durch die Originalmengen der Punkte einer stetigen Abbildung \(R^* = f(R)\) bestimmte Zerlegungsraum von \(R\) nicht mit \(R^*\) identisch zu sein (nicht einmal bei kompaktem topologischem \(R\)). Setzt man aber für \(f\) “Doppelstetigkeit” voraus, d. h. sind nicht nur die Originale der abgeschlossenen Mengen von \(R^*\) in \(R\), sondern auch die Bilder der abgeschlossenen Mengen von \(R\) in \(R^*\) abgeschlossen, so stimmt der durch die Originalmengen der Punkte von \(R^* = f(R)\) definierte Zerlegungsraum mit \(R^*\) überein. – Daß nicht jede stetige Abbildung eines separablen metrischen Raumes doppelstetig ist, zeigt ein Beispiel. Die stetigen Bilder von bikompakten bzw. kompakten abstrakten Räumen sind bikompakt bzw. kompakt; aber auch bei Bikompaktheit folgt aus der Stetigkeit der Abbildung nicht die Doppelstetigkeit. Dagegen gilt: Ist der topologische Raum \(R^*\) stetiges Bild eines bikompakten topologischen \(R\), so ist die Abbildung zugleich doppelstetig. Die stetigen Bilder \(R^*\) eines bikompakten topologischen Raumes \(R\) (insbesondere eines kompakten metrischen Raumes) sind also allein durch die stetigen Zerlegungen von \(R\) bestimmt.
Jeder topologische Raum, der stetiges Bild eines kompakten metrischen Raumes ist, ist kompakt und metrisierbar. Die kompakten metrisierbaren topologischen Räume lassen sich, wie Verf. zeigt, auffassen als stetige Bilder einer beschränkten nirgends dichten abgeschlossenen Menge von reellen Zahlen, die bekanntlich ihrerseits immer als stetiges Bild der Cantorschen perfekten nirgends dichten Menge aufgefaßt werden kann. Dadurch wird die Untersuchung der kompakten metrisierbaren Räume zurückgeführt auf die der stetigen Zerlegungen der Cantorschen perfekten nirgends dichten Menge.
Zum Schluß weist Verf. auf die folgende dimensionstheoretische Fragestellung hin: Was kann man über die Dimension von \(R\) sagen, wenn \(R\) eine \(n\)-dimensionale stetige Zerlegung (d. h. mit \(n\)-dimensionalem Zerlegungsraum) besitzt, deren sämtliche Zerlegungsmengen \(m\)-dimensional sind? Ein erstes Resultat in dieser Richtung ist der Satz: Die Zerlegung eines kompakten metrischen Raumes in seine Komponenten ist eine nulldimensionale stetige Zerlegung.

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