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On the momental constants of a summable function. (English) JFM 52.0402.01

Es werden Funktionen \(f(x)\) mit folgenden Eigenschaften betrachtet:
(A) \(f(x)\) ist reell und eindeutig in \(a\leqq x\leqq b\).
(B) \(f(x)\) ist in \((a,b)\) Lebesgue-integrabel.
(C) \(f(x)\) hat im Intervall \((a,b)\) eine endliche “upper measurable bound” \(H\) und eine endliche “lower measurable bound” \(h\). (Für die Definition dieser Größen siehe Haskins, Transactions A. M. S. 17 (1916), 181; F. d. M. 46, 393 (JFM 46.0393.*).)
Unter den Momentkonstanten von \(f(x)\) sind die Größen \[ \nu_n=\frac1{b-a}\int\limits_a^b\{f(x)\}^n\,dx\qquad(n=0,1,2,\ldots) \] zu verstehen.
Notwendig und hinreichend dafür, daß eine Folge \(\{\nu_n\}\) die Momentkonstanten einer Funktion \(f(x)\) darstellt, sind die Bedingungen:
(a)\hfill \(\nu_0=1\);\hfill{}
(b)\hfill\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\nu_{2n}}{\nu_{2n-2}}=L^2\),\hfill{}
wo \(L^2=\max(H^2,h^2)\) ist;
(c)\hfill \(\begin{vmatrix}&&&\\ \nu_0&\nu_1&\ldots&\nu_m\\\nu_1&\nu_2&\ldots&.\\\nu_2&.&\ldots&.\\ .&.&\ldots&.\\\nu_m&.&\ldots&\nu_{2m} \end{vmatrix}>0\), \(\begin{vmatrix}\l&&&\l\\ 1&(-L)&\ldots&(-L)^{m+1}\\\nu_0&\nu_1&\ldots&\nu_{m+1}\\\nu_1&\nu_2&\ldots&.\\ .&.&\ldots&.\\\nu_m&.&\ldots&\nu_{2m+1} \end{vmatrix}>0\), \hfill{}
\hfill(\(m=0,1,2,\ldots\)).\hfill{}
Wird Stetigkeit nach rechts verlangt, so ist \(f(x)\) eindeutig den \(\nu_n\) zugeordnet.

Citations:

JFM 46.0393.*
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