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Electrodynamics in the general relativity theory. (English) JFM 51.0713.08
Verf., der Häufung zahlreicher Tensorindizes abhold, entwickelt zunächst eine Art “direkter Symbolik” für den vierdimensionalen Tensorkalkül: “\(x\)” als Symbol des Vektors mit den kontravarianten Komponenten \(x^i\), \(f(x)\) als Symbol der linearen Vektorfunktion \(f_\varrho^i x^\varrho\) (“Tensor \(f\)”), \(\lambda\) als Charakteristik der invarianten Richtung \(a\) (\(f(a) = \lambda a\)), \(a = \varrho x + \sigma y\) als invariante Ebene, \(| f_j^i - \lambda g_j^i| =0\) als charakteristische Gleichung, schließlich die biquadratische Relation \[ f^4(a)-\alpha f^3(a)+\beta f^2(a)-\gamma f(a)+\delta = 0 \] mit \(f^2 = f[f(a)]\), \(\ldots\) für den Tensor \(f\) im vierdimensionalen Raum.
Damit ergibt sich das Theorem: Zu jeder linearen Vektorfunktion gehört im vierdimensionalen Raum mindestens eine invariante Ebene. Im indefiniten pseudoeuklidischen (Minkowskischen) Fall wird die Darstellung: \(x = ix^1 + jx^2 + kx^3 + lx^4\), \(i^2 = - 1\), \(j^2 = k^2 = l^2 = 1\) verwendet. Unter den linearen Vektorfunktionen sind die symmetrischen und schiefsymmetrischen durch \[ f(x)y \mp f(y)x = 0 \] gekennzeichnet. Insbesondere gestatten die schiefsymmetrischen linearen Vektorfunktionen die beiden kanonischen Darstellungen \[ \begin{aligned} &f(x) = A \{i (jx) - j (ix)\} + F \{k(lx) - l (kx)\} \\ &f(x) = G\{n(kx)-k(nx)\}, \end{aligned} \] deren erste für den Fall gilt, wo zwei oder keine Nullrichtung in der betrachteten Ebene (\((i, j)\)-Ebene bzw. \((k, l)\)-Ebene) liegen, während für die zweite die Annahme einer Nullrichtung gemacht wurde. Dabei bedeuten \(A\) und \(F\) die “Streckungskoeffizienten” der Transformation; ferner gilt: \[ f(i) = Gk,\quad f(j) = - Gk,\quad f (k) = Gi + Gj,\quad f (l) = 0, \quad n = i+ j. \] In beiden Fällen handelt es sich um absolute Orthogonalität der invarianten Ebenen (die gemeinsame Richtung im zweiten Falle ist isotrop!). Im ersten Falle ergeben die Werte \(A^2 - F^2\) und \(AF\) die beiden Invarianten des (allgemeinen) schiefsymmetrischen Tensors \[ \begin{aligned} &I_1=f_1^2f_2^1 +f_1^3f_3^1 +f_1^4f_4^1 +f_2^3f_3^2 +f_2^4f_4^2 +f_3^4f_4^3,\\ &I_2=f_1^2f_4^3 +f_1^3f_2^4 +f_1^4f_2^3, \end{aligned} \] im zweiten Falle verschwinden beide.
Für die Theorie des elektromagnetischen Feldes verwendet Verf. die kanonische Darstellung \[ f(x) = \lambda \{i(jx) - j(ix)\} + \mu \{k(lx) - l(kx)\},\;i^2 = j^2 = k^2=l^2=1,\;ij = ik=\cdots= 0 \] mit imaginärem \(\lambda\) und reellem \(\mu\). Die Ebenen \(i\), \(j\) bzw. \(k\), \(l\) nennt Verf. das “Gerippe” (skeleton) von \(f\); es hängt noch von reellen bzw. imaginären Drehungen der Fundamentalvektoren ab. Nun besteht nach der allgemeinen Relativitätstheorie zwischen raumzeitlichem Krümmungsfeld und elektromagnetischem Feld im materiefreien Gebiet der Zusammenhang \[ R_j^i-\tfrac12 g_j^iR_\varrho^\varrho = f_\sigma^if_j^\sigma -\tfrac14 g_j^i f_\sigma^\tau f_\tau^\sigma, \] aus welchem Verf. die Energierelation \[ F(x) = \tfrac12\{f^2(x)-d^2(x)\} \] gewinnt unter Verwendung des zu \(f\) reziproken Tensors \(d\). Jetzt wird die Frage untersucht, welche Einschränkungen die lineare symmetrische Vektorfunktion \(F (x) \) vermöge der Energierelation erfährt. Dabei zeigt sich: Der raumzeitliche Krümmungstensor bestimmt wohl das Gerippe des elektromagnetischen Tensors, aber von dessen Zahlen \(\lambda\) und \(\mu\) nur die Kombination \(2\omega^2 = \mu^2 \lambda^2\). Um den elektromagnetischen Tensor vollständig zu bestimmen, ist außer der Kenntnis des Krümmungstensors die des Winkels \(\varphi\) notwendig, für welchen \[ \lambda = \omega\sqrt{- 2} \sin \varphi,\quad \mu= \omega\sqrt2 \cos \varphi \] gilt. Diese Betrachtung hat rein lokalen Charakter. (I.)
Für die Maxwell’schen Feldgleichungen gewinnt Verf. die äquivalente Formulierung \[ p = \mathop{\text{grad}}\nolimits \log \omega,\quad q =\sqrt{-1} \mathop{\text{grad}}\nolimits \varphi \] und das Theorem: Wenn ein schiefsymmetrisches Tensorfeld den Maxwell’schen Feldgleichungen genügt, so sind dessen “Gerippevektoren” \(p\) und \(q\) Gradienten von Skalarfunktionen und umgekehrt. Durch die Feldgleichungen erfährt der Winkel \(\varphi\) eine Bestimmung, welche nur mehr von einer freien Integrationskonstanten \(\gamma\) abhängt. Dann ist das allgemeine elektromagnetische Feld, welches mit einem gegebenen raumzeitlichen Kontinuum verträglich ist, von der Form \[ f= f_0 \cos\gamma + d_0 \sin \gamma\sqrt{-1},\quad d = d_0 \cos \gamma + f_0 \sin \gamma\sqrt{-1}. \] Die elektromagnetischen Feldgleichungen bedingen weiterhin \(\mathop{\text{rot}}\nolimits q = 0\); die Wirbelfreiheit des Feldes \(q\) folgt nicht aus den allgemeinen geometrischen Eigenschaften des raumzeitlichen Kontinuums. Umgekehrt kann jedoch diese letzte Eigenschaft durch die Komponenten des Krümmungsfeldes \(F\) ausgedrückt werden. (II.)
Um Integraleigenschaften und Singularitäten zu untersuchen, benutzt Verf. die Begriffsbildungen der Volterraschen Theorie allgemein konjugierter Funktionen, sofern sich die Theorie der analytischen Funktionen wie auch die des elektromagnetischen Feldes als deren Spezialfälle auffassen lassen. Dabei entsprechen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen den Maxwellschen Feldgleichungen und der Cauchy-Morerasche Integralsatz der Untersuchung von \(\displaystyle\int w_n\,d\sigma\), wo \(w\) den komplexen Tensor \(f(x)+d(x)\) bedeutet. Den singulären Punkten der Funktionentheorie entsprechen singuläre Linien (zeitartiger Richtung). Der Integralwert über eine Umhüllungsfläche liefert ihr “Residuum”, eine komplexe Zahl, deren reeller Teil der elektrischen und deren imaginärer Teil der magnetischen Ladung entspricht. Nun zeigt sich, daß das Krümmungsfeld nur den Modul des Residuums bestimmt. Somit existiert (abgesehen vom Vorzeichen) ein einziges elektromagnetisches Feld mit reellem Residuum, wofür die geeignete Wahl der Integrationskonstanten \(\gamma\) maßgebend wird. Damit ist nun sowohl das elektromagnetische Feld durch das Krümmungsfeld vollständig bestimmt wie auch der experimentellen Tatsache Rechnung getragen, daß die magnetische Ladung im Feld verschwindet, und die Existenz eines (einzigen!) Elektrons formuliert. Mit der Betrachtung der Simultanexistenz mehrerer Elektronen, einigen Spekulationen, welche an die Nichtlinearität der Feldbedingungen knüpfen und einer Behandlung des zentralsymmetrischen Falles mit den Mitteln seiner Theorie beschließt Verf. seine Ausführungen.

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