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Die Lösung des Plateauschen Problems über konvexen Bereichen. (German) JFM 51.0545.03
Das Problem, durch eine gegebene räumliche Randkurve \(K\) eine Minimalfläche zu legen ist, falls \(K\) hinreichend wenig von einer ebenen Kurve abweicht, schon früher von A. Korn (1909; F. d. M. 40, 705 (JFM 40.0705.*)) und Verf. (1910; F. d. M. 41, 428 (JFM 41.0428.*)) erledigt worden. Die Beschränkung auf Randkurven mit konvexer Projektion im allgemeinen Falle liegt, wie Verf. zeigt, in der Natur der Sache. In einem umfassenderen Zusammenhang hatte schon S. Bernstein (1910; F. d. M. 41, 427 (JFM 41.0427.*)) eine Lösung des allgemeinen Problems für analytische Randkurven versucht, die jedoch von Verf. hier einer Kritik unterzogen und nicht für ausreichend gehalten wird, soweit sie über die beiden erstgenannten Lösungen hinausgeht.
Diese beruhten darauf, an Stelle von \(K\) eine abgeflachte Kurve zu setzen, die aus \(K\) durch Multiplikation der \(z\)-Koordinate mit \(\varepsilon\) (\(0 \leqq \varepsilon \leqq 1\)) hervorgeht. Die Lösung läßt sich dann nach Verf. durch Potenzreihenentwicklung nach \(\varepsilon\) geben. Indem er diesen Gedanken weiterführt, zeigt er jetzt, daß sich die für einen bestimmten Wert \(\bar{\varepsilon}\) von \(\varepsilon\) gewonnene Lösung wiederum durch Potenzreihenentwicklung nach \(\varepsilon - \bar{\varepsilon}\) auf benachbarte Werte \(\varepsilon\) fortsetzen läßt, und der Konvergenzradius dieser Entwicklung liegt oberhalb einer von \(\bar{\varepsilon}\) unabhängigen Schranke, so daß man also durch endlich oftmalige Anwendung der Fortsetzung auf \(\varepsilon = 1\) kommt. Dieses Verfahren wird bei gewissen einschränkenden Voraussetzungen über \(K\) ausgeführt, die dann durch ein Approximationsverfahren weitgehend beseitigt werden.
In einem vorbereitenden Teil werden gewisse Sätze über die Beschränktheit der Ableitungen von \(z(x, y)\) hergeleitet, wenn \(z = z(x,y)\) eine Minimalfläche über einem konvexen Bereich der \(x\), \(y\)-Ebene ist. Doch kommt den Entwicklungen dieses Teils auch selbständiges Interesse zu, z. B. einigen Sätzen über den Schnitt sich berührender Minimalflächen. Auch wird hier ein Beweis des im folgenden Referat genannten Satzes B gegeben. (IV 13. IV 15.)

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