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Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. (German) JFM 51.0452.05
Für eine in einem metrischen Raum gelegene “zusammenhängende” Menge –dieser Ausdruck wird im Sinne Hausdorffs genommen, doch formal anders ausgedrückt –hat Hausdorff bewiesen, daß sie mindestens die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt. Verf. ist bestrebt, dieses (wie grundsätzlich jedes topologische) Ergebnis auf rein topologische Grundlage derart zu stellen, daß die Voraussetzungen wie die Hilfsmittel rein topologisch gestaltet werden.
Das Problem wird für normale Räume vollständig, für reguläre Räume bis zu einem gewissen Grade positiv erledigt mittels zweier Sätze, wonach in einem normalen bzw. regulären Raum jede Menge von positiver Dimension mindestens die Mächtigkeit des Kontinuums hat bzw. unabzählbar ist. Dagegen ergibt sich für die irregulären Räume eine negative Antwort, und zwar sogar für Räume, die dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom Hausdorffs genügen: Verf. konstruiert nämlich einen abzählbaren zusammenhängenden topologischen Raum, in dem jenes Axiom erfüllt ist. Daß letzterer Ersatz nicht trivial ist, erhellt aus einem im 2. Anhang angeführten Beispiel; der 1. Anhang behandelt Eigenschaften der Trennung und ihre Beziehungen zu Hausdorffs Abzählbarkeitsaxiomen, der 3. gibt auf Grund der Hauptergebnisse der Arbeit eine sehr weitgehende Erledigung des von Fréchet gestellten Problems an, möglichst allgemeine Kategorien von Räumen zu finden, in denen nichtkonstante stetige Funktionen existieren.

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