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Sur les fonctions harmoniques. (French) JFM 51.0363.02
\(f(m) = f(x_1,x_2,\ldots, x_n)\) sei eine eindeutige Funktion in einem offenen Gebiet \(G\) und summierbar in jedem inneren Teilgebiet von \(G\). Bezeichnet \(v\) das Volumen einer Kugel vom Radius \(h\) mit Mittelpunkt \(m\), so betrachtet Verf. den Grenzwert (falls er existiert) \[ \lim\limits_{h=0} \frac{2(n+2)}{h^2v} \int [f(m')-f(m)]\, dv' = \varDelta^*f(m) \] (hierbei ist die Integration über jene Kugel zu erstrecken) als verallgemeinerten Laplaceschen Parameter für die Funktion \(f(m)\) in dem festen Punkte \(m\) (vgl. W. Blaschke 1916; F. d. M. 46, 742 (JFM 46.0742.*)). Verf. beweist: wenn die Funktion \(f(m)\) ein totales Differential zweiter Ordnung in einem Punkt \(m\) hat, so besitzt sie in diesem Punkt einen verallgemeinerten Laplaceschen Parameter, und es gilt: \[ \varDelta^*f(m) = \varDelta f(m)=\sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}. \] In Anwendung dieser Verallgemeinerung des Laplaceschen Operators gelangt man für das Newtonsche Potential \(u(m)\) zu der (verallgemeinerten) Poissonschen Gleichung: \(\varDelta^*u(m)=-4\pi\varrho\), unter der einzigen Voraussetzung, daß die Dichte \(\varrho\) in dem betrachteten Punkte \(m\) stetig ist.
Nunmehr definiert Verf. die in dem Gebiet \(G\) stetige Funktion \(u(m)\) als harmonisch, wenn in jedem Punkt \(m\) aus \(G\) gilt: \[ u(m) = \frac{1}{v} \int u(m')\, dv', \] wobei die Integration über das Volumen \(v\) irgendeiner Kugel mit Mittelpunkt \(m\) zu erstrecken ist. (Diese Definition ist mit der üblichen äquivalent.) Unter Benutzung jener Beziehung gibt Verf. einen einfachen Beweis des Prinzips der Auswahl: Eine Familie \(\{u\}\) von harmonischen Funktionen, die in \(G\) gleichmäßig beschränkt sind, ist eine normale Familie (Montel) in \(G\), das heißt aus jedem Teil dieser Familie kann man eine Funktionenfolge auswählen, die in jedem abgeschlossenen inneren Teilbereich von \(G\) gleichmäßig konvergent ist.
Erweiterung auf Folgen \(\{u_n\}\) von “bis auf \(\varepsilon_n\) harmonischen” Funktionen, für die obige Relation nur bis auf \(\varepsilon_n\) genau gilt (\(\varepsilon_n\to 0\)).

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