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Untersuchungen über die automorphen Funktionen beliebig vieler Variablen. (German) JFM 51.0298.02
Myrberg hat erkannt, daß man die Schwierigkeiten, auf die ältere Bearbeiter der Theorie gestoßen waren, überwinden kann, wenn man bei der Definition der Diskontinuität einer Gruppe nicht nur die Häufungen äquivalenter Punkte, sondern auch die Häufungen von äquivalenten Gebilden höherer Dimensionenzahl in Betracht zieht. Namentlich werden Gruppen von Kollineationen betrachtet, die das durch Nullsetzen einer Hermiteschen Form gelieferte Gebilde in sich überführen. Weiter wird eine neuartige Diskontinuität einer Gruppe, die normale Diskontinuität, eingeführt. Sie wird dadurch charakterisiert, daß ein Bereich \(B\) existiert, in dem jede Folge von Kollineationen der Gruppe im Sinne Montels normal ist. Dadurch wird das Analogon dessen, was man bei einer Variablen Bereich der eigentlichen Diskontinuität nennt, eingeschränkt. Im Zusammenhang damit werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen aufgestellt, denen ein Bereich genügen muß, damit jede Cremonagruppe endlicher Ordnung, die ihn in sich überführt und die von infinitesimalen Operationen frei ist, in ihm die normale Diskontinuität besitzt. In vielen Fällen gelingt dem Verf. die Bestimmung des Diskontinuitätsbereiches. So ist bei den Cremonagruppen endlicher Ordnung und endlichen invarianten Raumes das Fehlen infinitesimaler Operationen schon hinreichend dafür, daß ein Bereich die normale Diskontinuität besitzt.
Insbesondere werden diejenigen Kollineationsgruppen untersucht, die eine Hermitesche oder eine quadratische Form invariant lassen. Es werden aber auch Beispiele von Gruppen allgemeinerer Art gegeben.
Unterwirft man die Variablen einer Form den linearen Operationen einer Gruppe, so erfahren die Koeffizienten der Form ihrerseits eine Gruppe linearer Transformationen. Verf. beantwortet die Frage nach denjenigen Formen \(\varphi\), bei denen die Koeffizientengruppe normal diskontinuierlich ist, wofern nur die Variablengruppe von infinitesimalen Operationen frei ist.
Ein funktionentheoretischer Teil behandelt die Frage nach der Existenz automorpher Funktionen der Gruppen und nach der Lage ihrer wesentlichen Singularitäten. (II 5.)

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