×

zbMATH — the first resource for mathematics

A fundamental class of geodesics on any closed surface of genus greater than one. (English) JFM 50.0466.04
Wieweit können die geodätischen Linien auf den genannten Flächen durch topologische Eigenschaften charakterisiert werden?
Die universelle Überlagerungsfläche wird so auf den in bekannter Weise mit einer nichteuklidischen Metrik versehenen Einheitskreis abgebildet, daß ihre Decktransformationen nichteuklidische Bewegungen werden. Im Falle konstanter (negativer) Krümmung geschieht das unter Erhaltung der Metrik. Wenn dann das Bild einer ohne Ende fortgesetzten Geodätischen nach beiden Seiten gegen bestimmte Randpunkte des Kreises konvergiert, so wird durch diese der Typus der Linie bestimmt. Bei konstanter (übrigens auch bei durchweg negativer) Krümmung der Fläche gilt:
1. Jede Geodätische hat einen bestimmten Typus.
2. Zu jedem Typus gehört eine Geodätische, und zwar
3. nur eine.
4. Die Schnitt- und asymptotischen Beziehungen der Geodätischen zu einander sind durch ihre Typen bestimmt,
5. ebenso die Konvergenz einer Folge geodätischer Linien gegen eine weitere.
Im allgemeinen Fall gilt von diesen Angaben ohne weiteres nur noch 2.
Ein endlicher geodätischer Bogen heißt von der Klasse \(A\), wenn kein mit Festhaltung der Endpunkte in ihn deformierbarer Bogen kürzer ist eine unendlich geodätische Linie, wenn jeder ihrer endlichen Teilbögen von der Klasse \(A\) ist. Die Klasse \(A\) ist eng 4. gelten; sie ist weit genug, daß der Existenzsatz 2. besteht. 3. gilt im allgemeinen nicht mehr. Daher zeigen sich auch bei 5. Abweichungen: wo sonst (bei konstanter Krümmung) die Konvergenz einer Folge gegen eine Geodätische eines bestimmten Typus bestand, kann jetzt nur behauptet werden, daß die Folge eine Geodätische des betreffenden Typus (und der Klasse \(A\)) zum Häufungselement hat. Aus demselben Grunde ergeben sich neue, bei konstanter Krümmung inhaltlose Sätze, z. B.: Sind \(b\) und \(c\) zwei verschiedene geschlossene Geodätische der Klasse \(A\) vom selben Typus, so begrenzen sie einen Ringbereich, und in diesem gibt es mindestens eine Geodätische der Klasse \(A\), die im einen Sinne zu \(b\), im anderen zu \(c\) asymptotisch ist.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI