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Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen. (German) JFM 50.0078.04
Es sei \(F_n\) eine durch \(n\) Elemente, zwischen denen keine Relation besteht, erzeugte Gruppe. Der Zweck der Arbeit ist es, die Gruppe \(\Gamma_n\) der Automorphismen von \(F_n\) durch erzeugende Elemente und definierende Relationen darzustellen. Aus einer früheren Abhandlung des Verf. (F. d. M. 46, 175 (JFM 46.0175.*), 1918) ergibt sich, daß \(\Gamma_n\) durch 4 Elemente \(P, Q, O, U\) erzeugt werden kann. Dabei erzeugen \(P, Q\) eine Untergruppe \(\Sigma_n\) von \(\Gamma_n\), welche zur symmetrischen Gruppe \(n\)-ten Grades isomorph ist; und \(P, Q, O\) erzeugen eine Gruppe \(\Omega_n\), welche zu der “durch Vorzeichenwechsel erweiterten symmetrischen Gruppe” isomorph ist. Der Verf. schreibt nun eine größere Anzahl von Relationen zwischen \(P, Q, O, U\) hin, die aus der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von \(F_n\) folgen. Es wird nachgewiesen, daß dieses System \(S\) von Relationen zur Definition von \(\varGamma_n\) ausreicht. Dazu wird zunächst gezeigt, daß zwei in \(S\) enthaltene Teilsysteme zur Definition von \(\sum_n\) und \(\Omega_n\) ausreichen. Sodann wird für \(S\) und \(\Gamma_n\) selbst der Nachweis dadurch erbracht, daß die Potenzprodukte der \(P, Q, O, U\) mittels des Relationssystems \(S\) in “Normalformen” übergeführt werden, deren Definition auf Grund der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von \(F_n\) erfolgt und so eingerichtet ist, daß dem Einheitselement von \(\Gamma_n\) im wesentlichen nur eine Normalform entspricht. Die Überführung in die Normalform, bei der viele Fallunterscheidungen notwendig werden, erfolgt mit Hilfe des Dehnschen Gruppenbildes. – Ob die für \(\Sigma_n,\Omega_n,\Gamma_n\) aufgestellten Relationensysteme noch vereinfacht werden können, wird nicht untersucht.

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References:
[1] Man sehe z. B. W. Dycks ”Gruppentheoretische Studien”, Math. Ann.20 u.22.
[2] Es sei z. B. auf die Dehnsche Methode zur Bestimmung von Faktorgruppen hingewiesen. (Berichtvortrag von M. Dehn auf der Jahresversammlung d. D. M. V., Leipzig 1922.)
[3] Der angehängte Indexn gibt also hiernicht, wie sonst vielfach in der Gruppentheorie üblich, die Ordnung der Gruppe an.F n und{\(\Gamma\)} n sind unendliche Gruppen.
[4] Das ProduktzeichenII ohne Produktindex steht hier überall um irgendein nicht kommutatives Produkt aus den Argumenten und ihren Reziproken zu bezeichnen.
[5] Eingehendere Untersuchungen über die Eigenschaften unabhängiger Systeme findet man in meinem Aufsatz: ”Om Regning med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien”, Matematisk Tidsskrift 1921.
[6] Die Erzeugung der symmetrischen Gruppe durch zwei Operationen ist u. a. benutzt worden von A. Capelli, Giorn. mat. (2)4 (1897), S. 354; E. H. Moore, Proc. Lond. math. Soc. (1)28 (1896/7), S. 363.
[7] ”Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation”, mathematische Annalen79.-Eine erweiterte Darstellung findet sich in der unter 5) zitierten Arbeit. · JFM 46.0175.02
[8] Proc. Lond. math. Soc. (1)28 (1896/97).
[9] Wie 8); siehe auch desselben Autors ”Theory of Groups of finite Order”, Note C.
[10] In Comptes rend. Acad. sc. Paris132 (1901), S. 1031 gibt J. de Séguier ein Relationensystem für die symmetrische Gruppe an, das er selbst als das Mooresche bezeichnet; indessen fehlt dort die oben mit (13c) bezeichnete Relation, und ein Blick auf die Exponentensumme vonQ in (13) und der Mooreschen Relation zeigt daß (13c) nicht aus den übrigen folgen kann. Das System de Séguiers ist also unvollständig.
[11] Es sei noch auf L. E. Dickson in Proc. Lond. math. Soc. (1)31 hingewiesen.
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