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The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid. (English) JFM 49.0748.02
Lond. R. S. Proc. (A) 102, 161-179 (1922); [erratum in JFM: 180-189 (1923)].
Die Arbeit schließt an frühere aus der Literatur bekannte Untersuchungen an, in welcher die scheinbare Erhöhung der Zähigkeit einer reibenden Flüssigkeit berechnet wird, wenn darin sehr kleine Kugeln suspendiert sind. Der Verf. erweitert das Ergebnis auf den Fall ellipsoidischer Teilchen. Für die Rechnung wird vorausgesetzt, daß die Abmessungen der Teilchen so klein sind, daß die ungestörte Strömung in der Umgebung desselben als örtlich linear veränderlich und zeitlich konstant betrachtet werden kann. Bei sehr kleinen Teilchen kann ihre Trägheit vernachlässigt werden, ihre Bewegung bestimmt sich also aus der Forderung, daß die resultierenden Drucke und Momente auf die Teilchen verschwinden; insbesondere folgt daraus, daß ein Teilchen die mittlere Geschwindigkeit der umgebenden Flüssigkeit annimmt. Die Berechnung der von dem Teilchen hervorgerufenen Störungsbewegung wird unter Vernachlässigung der quadratischen Glieder in den Differentialgleichungen durchgeführt. Zunächst wird erläutert, daß beim Umrechnen auf mit dem Ellipsoid mitbewegte Achsen bei langsamer Bewegung die auftretenden Zusatzglieder von der zu vernachlässigenden Größenordnung sind; die Störung erfolgt also in der gleichen Weise, als wenn das Ellipsoid ruhte und die umgebende Flüssigkeit die entsprechende Relativbewegung hätte. Damit ist die mathematische Aufgabe darauf zurückgeführt, die Störungsgeschwindigkeiten \(u\), \(v\), \(w\) aus den Gleichungen \[ \mu\varDelta u=\frac{\partial p}{\partial x}\,,\quad \mu\varDelta v=\frac{\partial p}{\partial y}\,,\quad \mu\varDelta w=\frac{\partial p}{\partial z}\,,\quad \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \] so zu bestimmen, daß an der Oberfläche des Teilchens Grundströmung und Störungsbewegung sich zu Null ergänzen. Nach den oben genannten Voraussetzungen sind die für \(u\), \(v\), \(w\) an der Oberfläche des Ellipsoids linare Funktionen der Koordinaten vorgeschrieben. Da \(u\), \(v\), \(w\) den Gleichungen \(\varDelta\varDelta u = 0\) usw. genügen, lassen sie sich durch Potentialfunktionen \(\varphi\); \(\psi\) in der Form \(\varphi+x\psi\), \(\varphi+y\psi\) oder \(\varphi +z\psi\) darstellen. Es wird gezeigt, daß man mit den aus der Potentialtheorie bekannten Potentialfunktionen \[ \begin{gathered} \int_\lambda^\infty \left\{ \frac{x^2}{a^2+\lambda} +\frac{y^2}{b^2+\lambda} +\frac{z^2}{c^2+\lambda} -1\right\} \,\frac{d\lambda}{\varDelta}\,,\quad \varDelta =\{(a^2+\lambda^2)(b^2+\lambda^2)(c^2+\lambda^2)\}^{1/2} \\ \chi_1=\int_\lambda^\infty \frac{yz\,d\lambda}{(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)\varDelta}\,,\quad \chi_2=\int_\lambda^\infty \frac{zx\,d\lambda}{(c^2+\lambda)(a^2+\lambda)\varDelta}\,,\quad \chi_3=\int_\lambda^\infty \frac{xy\,d\lambda}{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)\varDelta} \end{gathered} \] und ihren Ableitungen auskommt. Hier sind \(a\), \(b\), \(c\) die Halbachsen des Ellipsoids, \(\lambda\) die positive Wurzel der Gleichung \[ \frac{x^2}{a^2+\lambda} + \frac{y^2}{b^2+\lambda} + \frac{z^2}{c^2+\lambda} =1. \] Damit wird die Lösung der Randwertaufgabe zusammengesetzt. In diese Lösung gehen die Konstanten ein, die die Grundströmung charakterisieren und die Winkelgeschwindigkeiten des Teilchens. Die Bewegung des letzteren bestimmt sich dann (s. o.) aus der Forderung, daß die resultierende Kraft der Flüssigkeit aus das Teilchen und das Moment verschwinden. Da diese Bewegungsgleichungen sich in geschlossener Form nicht integrieren lassen, werden Spezialfälle diskutiert; die Spezialisationen beziehen sich auf die Grundströmung (Strömung in parallelen Ebenen) und auf Lage und Gestalt des Ellipsoids (Rotationsellipsoide). Es wird danach der von der Störung herrührende Energieverlust bestimmt und die damit verbundene scheinbare Zähigkeitserhöhung wie bei Einstein berechnet. Ist \(v\) das Volumen aller Teilchen in der Volumeinheit der reinen Flüssigkeit, \(\mu\) der Reibungsbeiwert der letzteren, so wird die scheinbare Erhöhung auf \(\mu^*\) durch eine Formel \[ \mu^*=\mu(1+ \nu v) \] gegeben. Der Wert des Koeffizienten \(\nu\) hängt sowohl von der Gestalt der Teilchen als vom Typus seiner Bewegung ab. Für Rotationsellipsoide werden die Extremwerte \(\nu\) bestimmt. Es wird gezeigt, daß der Einsteinsche Wert für die Kugel (\(\nu = 2{,}5\)) sowohl überschritten als (im Gegensatz zu einer Vermutung von Smoluchowski) auch unterschritten werden kann.
Der Verf. spricht die Vermutung aus, daß sich in Wirklichkeit die Bewegung einstellt, bei welcher der Energieverlust ein Minimum ist, und gibt an, wie sich in diesem Falle Rotationsellipsoide bewegen.

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