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Permutable rational functions. (English) JFM 49.0712.02
Verf. behandelt in anderer (mehr algebraischer) Weise als G. Julia und Fatou [Ann. Éc. Norm. 39, 131–215 (1922; JFM 48.0364.02), bzw. C. R. 173, 609–693 (1921; JFM 48.0364.01)] das Problem der permutablen rationalen Funktionen und kommt zu folgendem Hauptergebnis:
Die rationalen Funktionen \(\varPhi(z)\) und \(\psi(z)\), deren Grade beide \(>1\) sind, seien permutabel, d. h. es sei \(\varPhi[\psi(z)]=\psi[\varPhi(z)]\); keine Iterierte von \(\varPsi(z)\) sei mit einer Iterierten von \(\psi(z)\) identisch. Dann existiert eine periodische meromorphe Funktion \(f(z)\), so daß es dazu vier Zahlen \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) gibt derart, daß \[ f(az+b)=\varPhi[f(z)],\quad f(cz+d)=\psi[f(z)]. \]

MSC:
30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable
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