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Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen einer Veränderlichen. (German) JFM 49.0264.02
Deutet man die \(p\) Formen \(\varphi\) als homogene Punktkoordinaten eines \(S_{p-1}\), so ist jede zur nämlichen Klasse gehörige algebraische Kurve \(C\) \((1, 1)\)-deutig transformierbar in eine \(C_{2p-2}\) im \(S_{p-1}\) (mit Ausnahme des weiterhin auszuschließenden hyperelliptischen Falles).
Auf Grund der Noetherschen charakteristischen Funktion \(\chi(\mu)\) eines Moduls \(\mu\) der \(C_{2p-2}\) ist diese im allgemeinen \((p-2)(p-3)\) Überflächen \(F_2\) gemein. Doch kennt man schon für niedrige Werte von \(p\) Fälle, wo diese quadratischen Relationen zwischen den \(\varphi\) zur Bestimmung der \(C_{2p-2}\) nicht ausreichen.
Zunächst werden, lediglich auf Grund des Riemann-Rochschen Satzes, Relationen aufgestellt, die die \(C_{2p-2}\) vollständig bestimmen. Sodann werden diejenigen Fälle erledigt, wo die quadratischen Relationen nicht hinreichen, sondern noch kubische heranzuziehen sind; indessen gibt es nur zwei Typen solcher Fälle.
Abgesehen von diesen beiden singulären Familien, haben nicht nur die \(F_2\) die \(C_{2p-2}\) als einziges Schnittgebilde gemein, sondern sie bilden auch eine Basis für den Modul der \(C_{2p-2}\), d. h. jede die \(C_{2p-2}\) enthaltende \(F_\mu\) ist in der Form \(\sum\limits_{i=1}^p A_if_i\) darstellbar, wo die \(f_i\) eben die obigen \(F_2\) bedeuten und die \(A_i\) Formen der Ordnung \(\mu - 2\). Die gegenseitige Bindung der quadratischen Relationen erfolgt durch eine Reihe linearer Identitäten von der Art \(\sum A_\varrho f_\varrho = 0\), mit den \(A_\varrho\) als Linearformen.
An Beispielen wird gezeigt, wie man durch rationale Operationen, ohne Rücksicht auf singuläre Elemente, zu den Relationen gelangt.
Die Identitäten führen zur Scheidung in verschiedene Familien, die auf bestimmten, durch quadratische Relationen definierten Mannigfaltigkeiten höherer Dimension liegen. Von Interesse sind die zweidimensionalen \(M\) im \(S_{p-1}\), vor allem der einfachste Fall, wo die \(C_{2p-2}\) der volle Schnitt einer \(F_{p-1}\) mit einer \(F_2\) ist. Die fragliche Scheidung ist für die Normkurve \(N_5\) im \(R_5\) von besonderer Bedeutung.
Mit \(\varPhi_\mu\), \(\varPsi_\mu\), \(X_\mu\), \(\ldots\) seien Formen der \(\varphi\) vom Grade \(\mu\) bezeichnet, mit \(f\), \(F\), \(G\), \(\ldots\) Polynome, die durch ihr Verschwinden die Überflächen durch die \(C_{2p-2}\) darstellen. Ferner sei \(M^n_r\) eine \(M\) der Dimension \(r\) und der Ordnung \(n\); die Überflächen sind also \(M^n_{p-2}\).
Die Abzählungen über Spezialscharen und die quadratischen Relationen beruhen auf dem Riemann-Rochschen Satze. \(Q\) Punkte einer Spezialgruppe, die einer \(g_Q^q\) (\(q\geqq 0\)) angehören, bestimmen einen \(S_{p-2-s}\), der durch die \(s +1\) Überebenen \(\varphi_0 = 0\), \(\ldots\), \(\varphi_s = 0\) erzeugt wird, die die \(G_Q\) gemein haben. Die letzteren schneiden die \(C_{2p-2}\) in einer linearen Vollschar \(g^S_{2p-2-Q} = g^s_S\). Es gibt dann genau \(\dbinom{p+1}2 -\left(\dfrac{p-S}2\right) -(3p-3-Q)\) linear unabhängige quadratische Relationen der Form: \(M_{p-2} \equiv \sum\limits_{i=0}^s \varphi_i\varPhi_i = 0\). Hierbei scheidet der Fall \(s = 0\) aus, da die \(C_{2p- 2}\) nicht in einem \(S_{p-2}\) liegen kann.
Für \(s = 1\) hat man \(q\), für \(s = 2\) hat man \(p - 3\), für \(s > 2\) im allgemeinen \(p - 2\) unabhängige \(M_{p-2}\), im besonderen aber auch nur \(p - 3\).
Damit ist der eingangs aufgestellte Satz bewiesen, solange die \(G^s_S\) nicht aus Involutionen zusammengesetzt ist. Der letztere Fall erfordert dagegen verwickelte Einzelüberlegungen, auf die hier nicht eingegangen werden kann. (V 5 E, V5C.)

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References:
[1] M. Noether, Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen, Math. Ann.17, S. 263; die Aufstellung der \(\phi\)-Relationen für den allgemeinen Fallp=5, 6, 7 findet sich Math. Ann.26, S. 143. Weitere Literaturnachweise bei A. Brill und M. Noether, Die Entwicklung der Theorie der alg. Funktionen usw., Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.3 (1894) sowie Enz. d. Math. Wissenschaften III C4.–Die vorliegende Arbeit ist aus der persönlichen Anregung von M. Noether hervorgegangen, für ihre Mühe bei Durchsicht und Kritik bin ich Frl. E. Noether dankbar.
[2] H. Weber, Über gewisse in der Theorie der Abelschen Funktionen auftretende Ausnahmefälle, Math. Ann.13.–Kraus, Note über außergewöhnliche Spezialgruppen auf algebraischen Kurven, Math. Ann.16.–F. Klein, Riemannsche Flächen, Aut. Vorl. II, S. 104 (1892).
[3] Vgl. hierzu C. Segre, Sulle varietà algebriche composte etc. Rend. Acc. Lincei (4)3 (1887), S. 150. · JFM 19.0672.01
[4] Bei Behandlung aller Spezialfälle, in denen eineg 5 1 existiert, hat man von allen möglichen Normierungen derM 4 4 imR 7 (1) auszugehen.
[5] Satz von Bertini, siehe Enc. d. Math. Wissenschaften III C4, Nr. 24.
[6] Das lineare System der adjungiertenC p ist regulär.
[7] Eine ähnliche Beweisführung bei Picard, Théorie des fonctions algébriques etc.2, Kap. 3, Nr. 11 bei Aufweisung allerM 2 mit rationalen ebenen Schnitten.
[8] Veronese, Math. Ann.19, Behandlung der projektivischen Verhältnisse usw.
[9] Es handelt sich also um eine Umformung der in § 1 gefundenen Bedingung des Verschwindens aller Konstanten in den Identitäten (6) bzw. (11).
[10] Vgl. Segre, Math. Ann.34; allgemeiner liegt dieC 2p bei Bestehen einer InvolutionJ 2 1 vom Geschlechte \(\pi\) auf einer Regel-M i p+2\(\pi\) , die man durch eindeutige Beziehung einer kanonischenC 2\(\pi\) in einem dieC 2p nicht treffendenR \(\pi\) auf eine normaleC p im dualenR p erzeugen kann; dieC 2\(\pi\) kann in eine doppelt überdeckteC \(\pi\) ausarten.
[11] Vgl. Hensel und Landsberg: 15. Vorlesung; die Grundlage für eine solche Darstellung vom invarianten Standpunkt gibt der Satz von Noether, Math. Ann.17, § 3.
[12] Tatsächlich können in manchen Fällen diea nur eine Variable enthalten; man lege z. B.a 2, ...,a p inp Verschwindungspunkte einer überall doppelt verschwindenden \(\phi\).
[13] Diese Darstellung ist nicht eindeutig.
[14] Vgl. Segre, Sulle varietà normali a tre dimensioni etc. Att. d. R. Acc. d. Torino21.
[15] Die Existenz weiterer Schareng 5 1 behindert uusere Betrachtung in keiner Weise.
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