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Über die Dimensionalität von Punktmengen. I. (German) JFM 49.0141.01
Die Untersuchungen des Verf. gehen aus von einer neuen Definition des Begriffs der Kurve, der einerseits solche Ausartungen wie die Peano-Kurve ausschließen, anderseits allgemeinere Gebilde als den Lennes-Bogen (N. J. Lennes, American J. 33, 1911) umfassen soll. Die neue Definition lautet: “Ein Kontinuum \(K\) eines metrischen Raumes heißt Kurve, wenn für jeden Punkt \(k\) von \(K\) und zu jeder Umgebung \(U(k)\) eine Umgebung \(U'(k) \prec U(k)\) existiert, so daß der Durchschnitt von \(K\) mit der Begrenzung von \(U'(k)\) zusammenhanglos ist.” Für diese Kurven stellt der Verf. folgende Eigenschaften fest: “1. Die Kurvennatur ist invariant gegenüber eineindeutigen, stetigen Abbildungen. 2. Das Intervall des \(R_1\) und mithin jeder einfache, stetige Kurvenbogen (im Sinne von Lennes) ist eine Kurve. 3. Die Vereinigung abzählbar vieler Kurven ist, wenn sie ein kompaktes Kontinuum ist, eine Kurve. 4. Eine Kurve des \(R_n\) \((n > 1)\) enthält keinen inneren Punkt. 5. Im \(R_2\) sind die Kurven identisch mit den Kontinua ohne inneren Punkt. 6. Ein Kontinuum, das keine Kurve ist, enthält mehr höhere Punkte, als eine Kurve fassen kann.” Es mag zweifelhaft erscheinen, ob man Kontinua von solcher Allgemeinheit wie 5. angibt (also z. B. die Begrenzung eines beliebigen Gebietes), als “Kurve” zu bezeichnen geneigt ist. Gewiß aber hat der Verf. eine treffende Charakterisierung der eindimensionalen Kontinua gegeben. Der Verf. benutzt dann auch den Grundgedanken seiner Definition, um die Dimension beliebiger Punktmengen folgendermaßen festzulegen: “Eine Menge \(M\) eines metrischen Raumes heißt \(n\)-dimensional, wenn \(n\) die kleinste Zahl von folgender Eigenschaft ist: für jeden Punkt \(m\) von \(M\) und zu jeder Umgebung \(U(m)\) existiert eine Umgebung \(U'(m) \prec U(m)\), so daß der Durchschnitt von \(M\) mit der Begrenzung von \(U'(m)\) höchstens \((n-1)\)-dimensional ist. Die leere Menge und nur diese ist \((-1)\)-dimensional und höchstens \((-1)\)-dimensional.” Durch die Definition gelangt man zu dem auch anschaulichen Forderungen entsprechenden Ergebnis: “Unter den kompakten, abgeschlossenen Mengen sind die \(0\)-dimensionalen identisch mit den zusammenhangslosen.” – Die vorliegende Arbeit ist unabhängig von den verwandten Definitionen und Resultaten entstanden, die P. Urysohn im September 1922 (C. R. 175, 440, 481) veröffentlicht hat.

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References:
[1] Im mathematischen Seminar der Wiener Universität, Frühjahr 1921.
[2] C. Jordan, Cours d’Analyse.2, Aufl. I (1893), S. 90.
[3] N. J. Lennes, Am. Journ.,33 (1911).
[4] G. Peano, Math. Ann.,36 (1890), p. 157. · JFM 22.0405.01 · doi:10.1007/BF01199438
[5] Der folgenden Arbeit ist die Terminologie von H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, zugrunde gelegt (vgl. insbesondere Kap. I und Kap. II, §§ 6, 7). –Unter “Umgebung eines Punktes” schlechthin verstehen wir eine offene, den Punkt enthaltende Menge. Unser Begriff der zusammenhangslosen Menge ist identisch mit dem der “punkthaften” von Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, 1914, p. 322) und dem des “ensemble dispersé” von Sierpiński (Fundamenta Mathematicae, II. 1921, p. 82). Die abgeschlossenen, zusammenhangslosen Mengen sind offenbar identisch mit den abgeschlossenen Mengen ohne Teilkontinuum.
[6] Nach Janiszewski (Journ. Ec. Pol. II 16, 1912. S. 100 ff.) gelten die Sätze: Eine nicht leere, in einem Kontinuum offene Menge enthält ein Teilkontinuum. Eine abgeschlossene, zusammenhangslose Menge ist in einem Kontinuum nirgends dicht. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener, zusammenhangsloser Mengen ist zusammenhangslos.
[7] Vgl. W. Sierpiński, Fund. Math. II, 1921, p. 24.
[8] Ich verdanke dasselbe einer Mitteilung von Herrn O. Schreier. Daß ein Kontinuum desR 2, das keine Kurve ist, einen inneren Punkt enthält, ließe sich auch mit Hilfe gewisser Überdeckungssätze beweisen. Das obige Verfahren liefert aber, wie Herr Dozent L. Vietoris bemerkt hat, den allgemeineren Satz VI. Aus demselben geht hervor, daß wir für eine MengeM desR 2 die höheren Punkte schon durch die Forderung erhalten: Der Durchschnitt vonM mit der Begrenzung jeder hinlänglich kleinen topologischen Kreisumgebung soll Kontinua enthalten.
[9] Vgl. Hahn, Theorie der reellen Funktionen I, p. 136.
[10] Der obige Beweis setzt den Umstand in Evidenz, daß der höhere Punktm Häufungspunkt innerer Punkte vonM ist, ohne notwendig auch selbst innerer Punkt vonM zu sein.
[11] In den zahlreichen älteren Untersuchungen über den Begriff der Dimension, der in gleicher Weise Mathematiker und Philosophen beschäftigt hat, wird in die Definition desselben meist der Begriff der Abbildung aufgenommen. (Vgl. insbesondere die Arbeiten von L. E. J. Brouwer, Math. Ann., Bd. 70 und 71.) Dien-dimensionalen Mengen wurden als irgendwelche Aggregate von einfachenn-dimensionalen Mengen und diese wieder als topologische Bilder von Intervallen desR n definiert. Derartige Definitionen haben zunächst den Nachteil, daß eine Dimension von vornherein bloß für gewisse Klassen von Mengen definiert wird. Fréchet’s Theorie der Dimensionstypen (Math. Ann. 68, 1907, S. 145), ein bedeutungsvolles Analogon zur Cantor’schen Mächtigkeitslehre, wird von diesem Einwand nicht betroffen. Ein Nachteil vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aber, der allen Definitionen der Dimension gemein ist, die sich auf den Abbildungsbegriff stützen, besteht, wie wohl zuerst von Poincaré (Rev. de metaph. et de mor. 1912, p. 486 f.) betont wurde, darin, daß sie unserer Raumanschauung ungenügend Rechnung tragen. In mehreren erkenntnistheoretischen Schriften wurde denn auch die Dimension als etwas anschaulich unmittelbar Klares, begrifflich aber äußerst schwer Fixierbares bezeichnet. Insbesondere berührt Poincaré das Problem an zahlreichen Stellen, ohne eine restlose Lösung anzugeben. Auf eine von ihm vorgeschlagene rekurrente Definition, die Brouwer (Journ. für die reine und angewandte Mathematik,142, Heft 2) verbessert hat, sowie auf eine für unser Problem grundlegende Arbeit von Lebesgue (Fund. Math. II, 1921, S. 256), werden wir in der Fortsetzung dieser Arbeit zurückkommen.
[12] Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, p. 248 f. und p. 303.
[13] Nach Abschluß dieser Arbeit, deren Definitionen und Hauptresultate bereits im Herbst 1921 bei der Wiener Akademie der Wissenschaften hinterlegt wurden, erfahre ich, daß Herr P. Urysohn aus Moskau eine ganz ähnliche Theorie der Kurven in Marburg (September 1923) vorgetragen hat, und daß die Definitionen und Resultate seiner Dimensionstheorie, die mit der oben angedeuteten gleichfalls im wesentlichen übereinstimmt, in den Comptes rendus, Sept. 1922, ohne Beweise angeführt sind.
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