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Algebras and their arithmetics. (English) JFM 49.0079.01
Chicago: Univ. of Chicago Press. xii, 241 p. kl. \(8^\circ\) (1923).
Das verdienstvolle Werk ist eine Einführung in die Lehre von den Systemen hyperkomplexer Größen und der in ihnen hergehenden Zahlentheorie. Für die genannten Systeme wird die Bezeichnung “Algebra” angewandt, die ich der Kürze halber hier ebenfalls anwenden will. Eine Algebra ist nach Dickson ein System von Elementen \(a, b, c,\ldots\), für die die Operationen der Addition und Multiplikation, sowie der skalaren Multiplikation mit den Elementen \(\alpha,\beta,\gamma,\ldots\) eines Körpers \(F\) definiert sind und folgende Postulate erfüllen: \[ \begin{aligned} \text{I.} &\quad a + b = b + a, \;(a + b) + c = a + (b + c), \\ \text{II.} &\quad \alpha a = a\alpha, \;\alpha (\beta a) = (\alpha\beta )a, \;(\alpha a)(\beta b) = (\alpha\beta )(ab), \\ \text{III.} &\quad (\alpha + \beta ) a = \alpha a + \beta a, \;\alpha (a + b) = \alpha a + \alpha b, \\ \text{IV.} & \quad (a+b)c = ac + bc. \\ \text{V.} & \quad \text{Existenz einer endlichen Basis mit Koeffizienten aus } F. \end{aligned} \]

In den späteren Abschnitten wird vielfach das assoziative Gesetz der Multiplikation und die Existenz einer Haupteinheit mit postuliert.
Kapitel 1 behandelt die Definition einer Algebra und einfachste Beispiele.
Kapitel 2: Lineare Systeme von Elementen einer Algebra. Es handelt sich um die Begriffe der Basis, der Ordnung (Rang in bezug auf den Grundbereich \(F\)), des Durchschnitts und der Summe (kleinstes gemeinsames Vielfaches bzw. größter gemeinsamer Teiler) und um das Produkt zweier Systeme, die in bekannter Weise definiert werden.
Kapitel 3 behandelt den Begriff der invarianten Unteralgebra (ein Teilsystem der Algebra von der Eigenschaft, daß das vordere und hintere Produkt eines Elementes des Teilsystems mit irgend einem Elemente der Algebra wieder zum Teilsystem gehört, und das im übrigen selbst eine Algebra darstellt), die direkte Summe, die Reduzibilität, und die “Differenzalgebra”. Letztere ist definiert als die durch die Restklassen mod. einer invarianten Unteralgebra erzeugte Algebra.
Kapitel 4 führt die Wurzeln der Null (nilpotente Elemente) ein und studiert die von ihnen erzeugten invarianten Unteralgebren. Eine Algebra ohne eine solche aus Wurzeln der Null bestehende invariante Unteralgebra heißt “halbeinfach”, eine Algebra, die überhaupt keine invariante Unteralgebra enthält, “einfach”. Jede halbeinfache Algebra ist als direkte Summe von einfachen Algebren darstellbar. Im Gegensatz zu den nilpotenten stehen die idempotenten Elemente, die gleich ihrem Quadrate sind.
Kapitel 5 behandelt eine solche Algebra, in der für jedes von Null verschiedene Element eine vordere und hintere Reziproke existiert (Divisionsalgebra), die übrigens beide einander gleich sind. Der bekannte Satz von Frobenius (merkwürdigerweise wird dieser um die hyperkomplexen Größen speziell und um die Algebra im allgemeinen so hochverdiente Berliner Mathematiker in dem ganzen Buche nicht genannt), daß außer dem System der komplexen Zahlen und dem System der reellen Quaternionen keine weitere Divisionsalgebra über dem Grundbereich der reellen Zahlen existiert, wird bewiesen und die Systeme des Verf.s von der Ordnung \(n^2\) besprochen, die mit Hilfe von zyklischen Gleichungen über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Grundbereich definiert sind und die Eigenschaft einer Divisionsalgebra haben.
Kapitel 6: Struktur einer Algebra. Neben der direkten Summe wird das direkte Produkt zweier Algebren in bekannter Weise eingeführt. Es wird bewiesen, daß jede einfache Algebra (abgesehen von trivialen Ausnahmen) als direktes Produkt einer Divisionsalgebra über dem betr. Grundbereich und einer Matrixalgebra über demselben Grundbereich dargestellt werden kann. Eine Matrixalgebra bedeutet dabei die von dem System aller quadratischen \(n\)-reihigen Matrizen, deren Elemente dem Grundbereich \(F\) angehören, gebildete Algebra. Es gilt auch die Umkehrung des genannten Satzes. Allgemeiner kann jede beliebige Algebra als Summe von einfachen Algebren dargestellt werden, wenn man sie mod der maximalen nilpotenten invarianten Unteralgebra reduziert.
Kapitel 7 führt die Darstellung einer assoziativen Algebra durch Matrizen in bekannter Weise ein.
Kapitel 8 bringt eine Verschärfung der Sätze von Kapitel 6. Es wird bewiesen: Jede assoziative Algebra, die weder halbeinfach ist, noch aus lauter Wurzeln der Null besteht, ist die Summe ihrer maximalen nilpotenten invarianten Unteralgebra und einer halbeinfachen Unteralgebra. Der Grundbereich darf dabei nicht von der Charakteristik \(p\) sein.
Nachdem in Kapitel 9 bekannte Dinge über ganze algebraische Zahlen rekapituliert worden sind, wendet sich der Verf. in Kapitel 10 zur Arithmetik einer Algebra. Das Problem ist vor allem eine vernünftige Definition des Begriffes “ganzes Element”. Nach der Definition des Verf. werden die Elemente eines Systems mit folgenden Eigenschaften als ganz bezeichnet:
1. Für jedes Element des Systems sollen die Koeffizienten der Gleichung niedrigsten Grades ganze Zahlen sein (der Grundbereich \(F\) ist hier der Körper der rationalen Zahlen.
2. Addition, Subtraktion, Multiplikation führt wieder zu Elementen des Systems.
3. Die Haupteinheit ist im System enthalten.
4. Das System kann nicht erweitert werden, ohne die Eigenschaften 1, 2, 3 einzubüßen.
Es wird das Verhältnis zu früheren Definitionen (insbesondere von Hurwitz über die ganzen Quaternionen) studiert und sodann der Beweis des Fundamentaltheorems erbracht, wonach die Arithmetik einer Algebra mit der jenigen ihrer in Kapitel 8 behandelten halbeinfachen Unteralgebra assoziiert ist, so daß beim Studium der Arithmetik die maximale nilpotente invariante Unteralgebra ohne Belang ist. Es folgen Anwendungen auf diophantische Gleichungen.
Kapitel 11 behandelt die Körper und ihre einfachsten allgemeinen Eigenschaften.

MSC:
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
16-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to associative rings and algebras