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Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie. (German) JFM 49.0076.04
Die Aufgabe der Arbeit ist die Einordnung der Eliminationstheorie in der Hentzelt-Noetherschen Fassung in die allgemeine Idealtheorie, wobei die Theorie der Nullstellen in neuer Weise abstrakt eingeführt wird.
Zunächst handelt es sich um die Norm und Elementarteilerform von Primidealen im Sinne von Hentzelt-Noether. Beide werden normalerweise identisch, und zwar eine Primfunktion, und diese Bedingung ist notwendig und hinreichend für ein Primideal. Nur der Fall, daß der Koeffizientenbereich ein unvollkommener Körper ist, macht eine Ausnahme, auf die hier nicht eingegangen sei. Für ein Primärideal wird die Elementarteilerform und die Norm je eine Potenz einer Primfunktion; auch dieser Satz beruht darauf, daß sich dem Körper der Restklassen ein Nullstellenkörper in derselben Weise abstrakt zuordnen läßt, wie dies Steinitz im Falle einer Veränderlichen getan hat. Dies hat dann zur Folge, daß ein Polynom, das in allen Nullstellen eines Primideals verschwindet, zu diesem gehört.
Zur arithmetischen Fassung des Dimensionsbegriffes wird ausgegangen von der bekannten Definition mit Hilfe des algebraischen Ranges (Transzendenzgrades) des Restklassenkörpers. Andererseits läßt sich die Dimension durch Arithmetisierung der Tatsache, daß es auf Flächen Kurven, auf Kurven Punkte gibt, mit Hilfe von einer Kette von Primidealen definieren, die Teiler des gegebenen und überdies jedes ein echter Teiler des vorangehenden sind. Die maximale Länge einer solchen Kette bestimmt die Dimension; die Übereinstimmung beider Definitionen wird gezeigt.
Die Zerlegung eines Ideals in größte primäre Komponenten äußert sich bei der Norm bzw. Elementarteilerform in ihrem Zerfallen in entsprechende Potenzen von verschiedenen irreduziblen Faktoren, die selbst die Elementarteilerformen bzw. Normen der einzelnen zugehörigen Primideale werden. Als Multiplizität wird – um auch den unvollkommenen Körper zu umfassen, aber sonst aus inneren Gründen nicht zweckmäßig – der Grad des größten primären Faktors der Norm eingeführt, statt des Exponenten der Potenz, der sich normalerweise ebenfalls wie jener durch eine gewisse Anzahl linear unabhängiger Restklassen deuten läßt. Das Grundideal \((i-1)\)-ter Stufe im Sinne von Hentzelt-Noether erweist sich als identisch mit der isolierten Komponente der Zerlegung, die eindeutig definiert ist durch alle Primideale von höherer als der \((n - i)\)-ten Dimension.
Zum Schluß der interessanten Arbeit, die alte und neue Begriffsbildungen in ihren Verkettungen aufweist, werden absolute Primideale betrachtet, die also auch im algebraisch abgeschlossenen erweiterten Koeffizientenbereich Primideale bleiben. Die Charakterisierung durch die Elementarteilerform führt zu dem Satze, daß ein absolutes Primideal mit ganzen Koeffizienten aus einem endlichen algebraischen Zahlkörper auch mod jedes Primideals aus diesem Körper absolutes Primideal bleibt, mit Ausnahme höchstens von endlich vielen Primidealen des Körpers. Dieser Satz stellt eine Verallgemeinerung eines Satzes von Ostrowski dar.

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References:
[1] Hentzelt, Kurt: Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten. Bearbeitet von E. Noether, Math. Ann.88 (1922), S. 53-79, zitiert H.-N. · JFM 48.0094.03
[2] Noether, E.: Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann.83 (1921), S. 24-66; zitiert Idealtheorie. · JFM 48.0121.03
[3] Steinitz, E.: Algebraische Theorie der Korper, J. f. M.137 (1910), S. 167-309; zitiert Steinitz. · JFM 41.0445.03
[4] Dieses Parallelgehen der Eliminationstheorie mit der allgemeinen Idealtheorie ist bei der Kroneckerschen Eliminationstheorie nicht erfüllt; vgl. dazu H.-N., Anm.4).
[5] Die Transformation ist im Hinblick auf § 3 usw. etwas allgemeiner als bei H.-N., wodurch alle dortigen Resultate um so mehr erhalten bleiben.
[6] Bei H.-N. wird nur die Bezeichnung Resultantenform gebraucht; die Bezeichnung Norm entspricht den arithmetischen Eigenschaften.
[7] Die Definition von Primfunktion und Primärfunktion ließe sich auch in genauer Analogie mit 11. fassen, indem man nur das-Wort Ideal durch Polynom ersetzt. Die größten primären Faktoren sind das Analogon zu den größten primären Komponenten der Zerlegung in 12.
[8] Vgl. H.-N., S. 63 und Anm.13).
[9] Als höchsten Elementarteiler der Ideale in algebraischen Zahlkörpern hat man die kleinste durch das Ideal teilbare ganze rationale Zahl aufzufassen, also insbesondere die durch ein Primideal teilbare Primzahl oder die durch ein Primärideal
[10] Steinitz, § 3. Die Annahmeeines von Null verschiedenen Elementes im ursprünglichen Integritätsbereich genügt, da dann die Existenz der Einheit durch Quotientenbildung gesichert ist, und somit der ursprüngliche Bereich ein Teilbereich des Körpers wird; Steinitz setzt Existenz der Einheit im Integritätsbereich voraus.
[11] Steinitz, § 6.
[12] Vgl. H.-N., § 7.
[13] Es handelt sich bei Erweiterungen erster Art, also insbesondere bei vollkommenen Körpern, um die erste Potenz; bei unvollkommenen Körpern aber um diep g -te Potenz, wie in § 6, Satz XIII und XIV, gezeigt werden wird.
[14] Vgl. H.-N., letzter Absatz von § 7.
[15] Diese Kettendefinition der Dimension ergibt im Fall des algebraischen Zahlkörpers die Dimension Null für die gewöhnlichen Primideale, die Dimension-1 für das Einheitsideal und die Dimension 1 für das Nullideal; tatsächlich genügt ja auch letzteres der Definition der Primideale-im Körper ist ein Produkt von nicht verschwindenden Größen stets von Null verschieden. Satz II bleibt bei dieser Definition der Dimension im algebraischen Zahlkörper erhalten.
[16] Aus Satz VIII ergibt sich wieder unter Beachtung von Hilfssatz II, daß die Grundideale-als kleinste gemeinsame Vielfache von transformierten Idealen-transformierte Ideale werden. Da Satz VIII nur auf Sätzen aus H.-N. beruht, wo diese Tatsache nicht benutzt wird, so ergibt sich damit ein neuer Beweis, der zugleich den inneren Grund aufdeckt. Der Satz wird bei H.-N. nur bei der Theorie der Nullstellen verwendet, die ja hier neu entwickelt ist.
[17] Vgl. hierzu die parallel laufenden Überlegungen bei A. Ostrowski, Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, Gött. Nachr. 1919, S. 279-298; insbesondere S. 288, wo der entsprechende Satz ohne Beweis ausgesprochen ist.
[18] Ein algebraisch abgeschlossener Körper ist bekanntlich ein solcher, in dem jedes Polynomeiner Unbestimmten in Linearfaktoren zerfällt. Existenz und wesentliche Eindeutigkeit des zu einem beliebigen Körper gehörenden algebraisch abgeschlossenen Körpers bei Steinitz.
[19] A. Ostrowski: a. a. O. (Anm.21)); Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, Gött. Nachr. 1919, S. 279-298; Hilfssatz S. 296.-Einfacherer Beweis bei E. Noether, Ein algebraisches Kriterium für absolute Irreduzibilität, Math. Ann.85 (1922), S. 26-33, Nr. 7.
[20] Vgl. dazu H.-N. § 4.
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