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Les multiplicités cantoriennes. (French) JFM 48.1186.02
Die Cantorsche Definition einer ebenen Kurve als eines ebenen Kontinuums ohne innere Punkte läßt sich nicht ohne weiteres auf Kurven und Flächen in höheren Dimensionen übertragen; für letztere hatte man überhaupt keine befriedigende geometrische Lösung, da die betreffenden Definitionen verschiedener Autoren (Zoretti, Janiszewski, Yoneyame) nicht als korrekt angesehen werden konnten. Hier werden die Schwierigkeiten überwunden durch präzisere Heranziehung der Umgebungen der betrachteten Punkte und durch eine neuartige Definition der Dimensionszahl.
Es werden allgemein Punktmengen \(C\) in kompakten metrischen Räumen betrachtet. Eine Teilmenge \(B\) “separiert einen Punkt \(x\) \(\varepsilon\)-mäßig”, wenn eine Zerlegung \(C-B=A+D\) möglich ist, bei der \(A\) und \(D\) von einander völlig getrennt sind, \(A\) \(x\) enthält und \(A\) wie \(B\) in einer Kugel vom Radius \(\varepsilon\) um \(x\) enthalten sind; wenn dabei \(x\) für jedes \(\varepsilon\) derart durch eine leere Menge \(B\) separiert werden kann, so heißt \(x\) in bezug auf \(C\) 0-dimensional; sind alle Punkte von \(C\) 0-dimensional, so wird auch \(C\) selbst die Dimension 0 zugeschrieben; ist \(x\) in bezug auf \(C\) nicht von einer Dimension \(<n\) (\(\geqq 1\)), wohl aber für jedes \(\varepsilon\) \(\varepsilon\)-mäßig separierbar durch eine Menge \(B\) von der Dimension \(<n\), so habe \(x\) in bezug auf \(C\) die Dimension \(n\); haben alle Punkte von \(C\) eine Dimension \(\leqq n\) und sind darunter auch solche von der Dimension \(n\) enthalten, so sei \(n\) die Dimension von \(C\); ein Kontinuum von der Dimension 1 heiße eine Cantorsche Linie; ein Kontinuum \(K\) habe die Dimension \(n\), wenn die Menge der Punkte von der Dimension \(n\) in ihm überall dicht ist.
Die Zweckmäßigkeit der letzteren Definition wird u.a. durch folgenden Satz gestützt: Ein Kontinuum \(K\) im \(R_n\), das zwei verschiedenen Bereichen als Grenze dient, hat selbst die Dimension \(n-1\). (V 2.)

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Full Text: Gallica