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On the number of classes of positive ternary quadratic forms of a given determinant. (Über die Anzahl der Klassen positiver ternärer quadratischer Formen von gegebener Determinante.) (German) JFM 48.1164.04
\(f(x_1, x_2,\ldots, x_r)\) sei eine Funktion der projektiven Koordinaten \(x_1, x_2,\ldots, x_r\), die homogen vom Grade \(r\) sei. Unter dem projektiven Integral über das Gebiet \(F\) des projektiven Raumes wird folgendes verstanden:
Der Punkt \[ x_1 : x_2 : \ldots : x_r \] \[ = \varphi _1(v_1, v_2,\ldots, v_{r-1}) : \varphi _2(v_1, v_2,\ldots, v_{r-1}) : \ldots : \varphi _r(v_1, v_2,\ldots, v_{r-1}) \] möge das Gebiet \(F\) beschreiben, wenn der Punkt \((v_1, v_2,\ldots, v_{r-1})\) im Raume von \(r-1\) Dimensionen alle Lagen in einem gewissen Gebiete \(H\) annimmt. Dann ist folgendes Integral das projektive Integral: \[ I=\varepsilon\int\limits_H f(x_1, x_2,\ldots, x_r)\, D(x_1, x_2,\ldots, x_r)\,dv_1\,dv_2\ldots \,dv_{r-1}\;\,(\varepsilon =\pm 1), \] wobei \(x_i\) durch \(\varphi_i(v_1, v_2,\ldots, v_{r-1})\) zu ersetzen ist.
Wählt man für \(f\) speziell die \(r\)-te Potenz einer Linearform, so wird das entstehende Integral als das Volumen des Gebietes bezüglich der Linearform bezeichnet. In § 2 werden einige dieser speziellen Volumina berechnet, insbesondere das Volumen des Koeffizientenraumes der positiv definiten quadratischen Formen, wenn man ihre Koeffizienten in einem projektiven Raum deutet, ferner dasjenige eines Gebietes, welches von \(r\) linearen \((r - 1)\)-dimensionalen Räumen begrenzt wird.
Im Falle der ternären Formen ist nun das Gebiet der reduzierten Formen nach Selling gerade durch 6 lineare Räume begrenzt, daher läßt sich sein Volumen berechnen.
Nun werden (§ 5) als Koeffizienten der Linearform, in bezug auf welche das projektive Volumen berechnet wird, die Koeffizienten einer definiten quadratischen Form genommen mit der Determinante \(D\). Dann ergeben die berechneten Integrale eine Darstellung der Klassenanzahl positiver Formen der Determinante \(D\) als Summe einer unendlichen Reihe.
Schließlich wird (§ 6) noch ein allgemeineres Integral berechnet, aus dem sich weitere Darstellungen der Klassenanzahl durch unendliche Reihen ergeben.

MSC:
11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11E41 Class numbers of quadratic and Hermitian forms
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References:
[1] Über die Darstellung der Klassenanzahl binärer quadratischer Formen durch unendliche Reihen, Crelles Journal129, S. 187-213. · JFM 37.0245.02
[2] E. Selling, Über die binären und ternären quadratischen Formen, Crelles Journal77, S. 143-229. · JFM 06.0128.01
[3] G. Voronoi: Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Premier mémoire: Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites, Crelles Journal133, S. 97-178. Deuxième mémoire: Recherches sur les paralléloèdres primitifs, Crelles Journal134, S. 198-287, und138, S. 67-181.
[4] Schlömilch, Kompendium der höheren Analysis, 2, 4. Aufl., S. 277.
[5] [Vgl. A. Hurwitz: Über die Reduktion der binären quadratischen Formen, Math. Annalen45, S. 85-117. Von der dort am Schluß angekündigten Abhandlung befinden sich einige Bruchstücke im Nachlaß von Hurwitz unter dem Titel: Über die Reduktion der ternären quadratischen Formen.A. S.]
[6] [Die zweite Abkürzung ist von Hurwitz nachträglich eingefügt worden.A. S.]
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