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Sur les équations de la gravitation d’Einstein. (French) JFM 48.0993.02
Unabhängig von den in Deutschland über den gleichen Gegenstand angestellten Untersuchungen behandelt Cartan das Problem, die Invarianten einer quadratischen Differentialform \(ds^2\) von \(n\) Variablen \(x_i\) zu bestimmen. Wird \(ds^2\) in beliebiger Weise als Quadratsumme von \(n\) linearen Differentialformen \(\omega_i\) dargestellt, wird also überall ein orthogonales, von \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) Parametern \(u\) abhängiges Koordinatensystem eingeführt, so sollen die von den Variablen \(x\) und \(u\) (und ihren Differentialen) abhängigen Invarianten des Formensystems \(\omega_i\) gefunden werden. Erst hernach sollen aus diesen “relativen” die “absoluten” Invarianten ausgelesen werden, welche nur von der quadratischen Form, nicht von dem durch die Parameter \(u\) gekennzeichneten orthogonalen Koordinatensystem abhängig sind. Von diesem Standpunkt gelangt Verf. zunächst zu Levi-Civitas Parallelverschiebung und den Riemannschen Krümmungskomponenten. Darauf wird bewiesen, daß alle relativen Invarianten, welche nur die Variablen selbst, nicht ihre Differentiale enthalten, Funktionen jener Krümmungskomponenten und ihrer kovarianten Ableitungen sind. In dem für die Physik allein in Betracht kommenden Fall der Dimensionszahl 4 wird ein volles System von absoluten Invarianten zweiter Ordnung aufgezählt. Insbesondere werden alle Skalare und symmetrischen Tensoren zweiter Stufe bestimmt, welche die Krümmungsgrößen nur linear enthalten. Für diese Aufgabe, die in der Einsteinschen Gravitationstheorie eigentlich allein interessiert, ist natürlich der von Cartan eingeschlagene Weg der Untersuchung, der zu viel allgemeineren Resultaten führt, ein großer Umweg.

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