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Sur les correspondances entre les points de deux espaces. (French) JFM 48.0652.03
Bekanntlich hat Brouwer (Math. Ann. 70, 161; F. d. M. 42, 416 (JFM 42.0416.*), 1911) zuerst allgemein den Satz von der Invarianz der Dimensionszahl (bei umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen) bewiesen. Kurz darauf hat auch Lebesgue (Math. Ann. 70, 166; F. d. M. 42, 419 (JFM 42.0419.*), 1911) einen Beweis skizziert; aber bei ihm war der Beweis eines den Kern der Überlegungen bildenden Hilfsatzes unrichtig. Erst Brouwer (J. für Math. 142, 150; F. d. M. 44, 555 (JFM 44.0555.*), 1913) hat diesen Hilfssatz bewiesen. Hier kommt nun Lebesgue auf seinen früheren Beweis des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl zurück, stellt seinen Gedankengang ausführlicher dar und gibt insbesondere einen neuen, übrigens dem Brouwerschen ähnlichen Beweis seines auch für sich interessanten Hilfssatzes. Dieser besagt: Wenn jeder Punkt eines \(n\)-dimensionalen Gebietes \(\mathfrak G\) mindestens einer von endlich vielen abgeschlossenen Mengen \(E_1, E_2,\ldots, E_p\) angehört und wenn die Durchmesser dieser Mengen hinreichend klein sind, dann existieren Punkte von \(\mathfrak G\), die gleichzeitig in mindestens \((n+1)\) dieser Mengen enthalten sind. Übrigens kann man allgemein, wie klein auch jene Durchmesser vorgeschrieben werden, eine solche Zerlegung von \(\mathfrak G\) vornehmen, daß auch nur höchstens \((n + 1)\)-fache Punkte vorkommen. – Dieser grundlegende Hilfssatz wird noch verallgemeinert, insbesondere auf \(n\)-dimensionale geschlossene Flächen. An den Dimensionssatz anschließend, wird noch die Invarianz der inneren Punkte und der Randpunkte nachgewiesen (dazu eine Berichtigung: Fundamenta math. 6, 96, 1924), und, mit Hilfe der angegebenen Verallgemeinerung des Hilfssatzes, die Invarianz der Dimensionszahl der \(n\)-dimensionalen geschlossenen Flächen; – alles mit Bezug auf eineindeutige und umkehrbar stetige Transformationen.
Es folgen Betrachtungen über nur eindeutige, stetige Transformationen: Verf. folgert aus seinem Hilfssatz den (ebenfalls schon in Math. Ann. 70 angegebenen) Satz, daß jede Peano-Kurve, die ein \(n\)-dimensionales Gebiet erfüllt, mindestens \((n + 1)\)-fache Punkte besitzen muß; und er zeigt durch ein einfaches Beispiel, daß man ein \(n\)-dimensionales Intervall durch eine Peano-Kurve mit höchstens \((n + 1)\)-fachen Punkten erfüllen kann. Den Schluß bilden einige Bemerkungen über die Abbildungen \(p\)-dimensionaler Intervalle auf \(n\)-dimensionale Intervalle \((n > p > 1)\). (III.)

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