×

Zur Parametrixmethode. (German) JFM 48.0563.03

Es handelt sich um folgende Randwertaufgabe: Auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche \(T\) vom Geschlechte \(p\) sei eine lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung \(L(u) = f\) definiert. Gesucht werden alle auf \(T\) überall endlichen Lösungen \(u\), die beim Überschreiten der Querschnitte vorgegebene ganze lineare (homogene oder inhomogene) Substitutionen erleiden.
Unter Benutzung früherer Ergebnisse (Heidelb. Ak. Sitzber. 1920, Nr. 16; F. d. M. 47, 458 (JFM 47.0458.*), 1919-20) wird bewiesen, daß die (homogene) Randwertaufgabe und die zu ihr adjungierte dann und in gewissem Sinne nur dann gleich viel Lösungen (Eigenfunktionen) besitzen, falls eine “abgeschlossene” Parametrix existiert. Die Existenz einer solchen Parametrix wird dargetan und schließlich die ganze Betrachtung auf die Probleme \(n\)-ter Ordnung übertragen, bei welchen es sich um Systeme von \(n\) Funktionen handelt, die vorgeschriebene ganze lineare Substitutionen erleiden.

Citations:

JFM 47.0458.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Hilbert, Grundzüge einer allgem. Theorie d. linearen Integralgleichungen (6. Mitt. Gött. Nachr. 1910).
[2] Noch allgemeiner könnte man statt eines einzigen elliptischen Differentialausdruckes derenn verschiedene zugrunde legen. Über diese Verallgemeinerung vgl. auch Hilbert. l. c., 5. Mitt. Gött. Nachr. 1906, S. 474 ff.
[3] Vgl. § 1 vorliegender Arbeit.
[4] Vgl. § 2 vorliegender Arbeit.
[5] Beispiele von Randwertaufgaben, bei welchen der Satz nicht richtig int, und diesbezügliche Kriterien hat Herr F. Noether angegeben. Siehe dessen Arbiets ?Bemerkungen über die Lösungszahl zueinander adjungierter Randwertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen? (Sitzungsber. der Heidelberger Akad., math.-nat. Kl., Abt. A, 1920, 1. Abh.) sowie ?Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen? (Math. Ann. 82 (1920), S. 42).
[6] H., S. 6-20. Dort findet sich auch die Behandlung für den Fall inhomogener Randbedingungen und vorgegebener Unstetigkeiten. Der dort betrachtete Differentialausdruck ist indessen zu sich selbst adjungiert.
[7] H. S. 14. Von identisch verschwindenden Funktionen als Lösungen irgendwelcher Integralgleichungen wird im Texte oben stets abgesehen.
[8] H., S. 19.
[9] H., S. 38.
[10] Zu beachten ist dabei, daß diese Singularität gegenüber konformer Abbildung nicht mehr invariant bleibt (wie log 1/r).
[11] Derartige Funktionen gibt es immer. Vgl. H., S. 33.
[12] Die Bezeichnungen nach Loewy, Determinanten, in Pascal-Timerding, Repertorium.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.