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Sur les séries entières, dont la somme est une fonction algébrique. (French) JFM 48.0368.02
\(\varphi(z)\) und \(\varPhi(z)\) seien zwei in der Umgebung des Nullpunkts reguläre algebraische Funktionen, und es sei \[ \begin{aligned} \varPhi(z)&=A_{00}+A_{01}z+A_{02}z^2+A_{03}z^3+\cdots\\ \varphi(z)\varPhi(z)&=A_{10}+A_{11}z+A_{12}z^2+A_{13}z^3+\cdots\\ (\varphi(z))^2\varPhi(z)&=A_{20}+A_{21}z+A_{22}z^2+A_{23}z^3+\cdots\\ (\varphi(z))^3\varPhi(z)&=A_{30}+A_{31}z+A_{32}z^2+A_{33}z^3+\cdots\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \end{aligned} \] Dem Punkte mit den kartesischen Koordinaten \(x=k\), \(y=l\) werde das Reihenglied \(A_{kl}z^l\) zugeordnet. Bildet man dann die Reihe all der Glieder, die den Punkten irgendeiner zur \(x\)-Achse nicht parallelen Geraden zugeordnet sind, so konvergiert diese Reihe und stellt eine algebraische Funktion dar. Ist die Gerade parallel zur \(x\)-Achse, so braucht die Reihe nicht zu konvergieren; konvergiert sie, so stellt sie eine algebraische Funktion dar.
Aus diesem Satze folgt z. B.: Sind \(\alpha\), \(\beta\) zwei rationale, \(a\), \(b\) zwei nicht negative ganze Zahlen, so stellt die mit den Binomialkoeffizienten \(\dbinom{\alpha+\beta n}{a+bn}\) gebildete Reihe \[ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha+\beta n}{a+bn} z^n \] eine algebraische Funktion dar.
Im Anschluß an den Beweis des obigen Satzes gibt der Verf. noch zwei Reihentransformationsformeln, die sich zur “Laplaceschen Interpolationsaufgabe”, d. h. zur Aufgabe, ein Polynom von einem Grade \(\leqq 2n\) zu finden, welches für \(x = 0,\pm 1,\ldots, \pm n\) vorgeschriebene Werte annimmt, genau so verhalten wie die bekannte Eulersche Transformation \[ \frac1{1+t}\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(\frac t{1+t}\right)^n= \sum_{n=0}^{\infty} t^n\varDelta^n a_0 \] zur Newtonschen Interpolationsaufgabe, ein Polynom vom Grade \(\leqq n\) zu finden, welches für \(x = 0, 1, 2, \ldots, n\) vorgeschriebene Werte annimmt. Die Formeln des Verf. sind, je nachdem \(a_{-n} = a_n\) oder = \(- a_n\) gesetzt wird, die folgenden: \[ \begin{gathered} \frac1{\sqrt{1+4t}}\left\{ \frac12a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+2t-\sqrt{1+4t}}{2t}\right)^n \right\}=\frac12\sum_{n=0}^\infty t^n\varDelta^{2n}a_{-n},\\ \frac1t\sum_{n=1}^{\infty}a_n\left( \frac{1+2t-\sqrt{1+4t}}{2t}\right)^n=\frac12\sum_{n=0}^{\infty} t^n(\varDelta^{2n}a_{-n+1}-\varDelta^{2n}a_{-n-1}). \end{gathered} \] (IV 6 C.)

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