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Sur les ensembles connexes. (French) JFM 48.0209.02
Diese Abhandlung enthält eine eingehende systematische Untersuchung der lückenlos zusammenhängenden (\(=\) im Lennes-Hausdorffschen Sinn zusammenhängenden) Mengen (abgekürzt: “l. z. M.”). In instruktiver Weise werden dabei den einzelnen Sätzen immer die entsprechenden (teils übereinstimmenden, teils stark abweichenden) Sätze über Kontinua an die Seite gestellt. § 1 bringt eine Reihe von allgemeinen Sätzen und Hilfssätzen (die zum Teil anknüpfen an den Begriff der “jonction” zweier Mengen, d. h. der Menge der Punkte, die gleichzeitig in der einen und in der abgeschlossenen Hülle der anderen Menge enthalten sind). Es sei nur der einfache Satz erwähnt: Jede l. z. M. ist Vereinigungsmenge von zwei echten Teilmengen, die ebenfalls l. z. sind. Also Gegenstücke zu den “unzerlegbaren Kontinuen” gibt es hier nicht. Aber diese beiden Teilmengen können nicht immer als elementenfremd gewählt werden. Vielmehr existieren merkwürdige “biconnexe” Mengen, d. h. l. z. M., die nicht in zwei elementenfremde l. z. M. zerlegt werden können. Es ergibt sich: Eine “biconnexe” Menge kann überhaupt kein Paar von elementenfremden l. z. Teilmengen enthalten und ist deshalb eine punkthafte Menge.
§2 behandelt die “zwischen zwei Punkten \(a\) und \(b\) irreduziblen l. z. M.”; so wird eine \(a\) und \(b\) enthaltende l. z. M. bezeichnet, wenn keine l. z. echte Teilmenge \(a\) und \(b\) enthält (abgekürzt “i. l. z. M.”). Dieser Begriff geht im wesentlichen auf N. J. Lennes [Am. J. Math. 33, 287–326 (1911; JFM 42.0399.01)]; auch Bull. Am. Math. Soc. 12, 284 (1905-1906); 17, 525 (1911; JFM 42.0514.01) zurück. Übrigens berührt sich dieser §2 eng mit der etwa gleichzeitigen Untersuchung von L. Vietoris [Monatsh. f. Math. 32, 258–280 (1922; JFM 48.0205.02)]. Diese i. l. z. M. haben sehr viel einfachere Eigenschaften als die oft untersuchten irreduziblen Kontinua. Insbesondere ergibt sich: Eine zwischen \(a\) und \(b\) i. l. z. M. ist zwischen keinem anderen Punktepaar irreduzibel. Durch irgendeinen ihrer Punkte \(x\) wird sie in zwei zwischen \(a\) und \(x\) bzw. zwischen \(b\) und \(x\) i. l. z. M. zerlegt. Daraus folgt die lineare Anordnung jeder i. l. z. M.; ihr Ordnungstypus ist genau der des Linearkontinuums. Hieraus ergibt sich dann natürlich wieder die von Lennes (a. a. O.) herrührende und ähnlich bewiesene Charakterisierung des Jordanschen Kurvenbogens als abgeschlossene, i. l. z. M.; die von Lennes ursprünglich beigefügte Bedingung “beschränkt” kann entbehrt werden (was schon G. H. Hallett jun. [Bull. Am. Math. Soc. 25, 325–326 (1919; JFM 47.0183.04)] bemerkt hat). Schließlich wird noch darauf hingewiesen, daß der wichtigste Satz über irreduzible Kontinua hier kein Seitenstück besitzt; d. h.: Nicht in jeder beschränkten l. z. M. – nämlich sicherlich in keiner biconnexen Menge – ist eine i. l. z. M. enthalten. §3 gibt Bedingungen dafür, daß Vereinigungsmenge oder Durchschnitt von zwei i. l. z. M. ebenfalls i. l. z. ist.
§4 betrachtet die Komplementärmengen der ebenen l. z. M. Damit eine ebene Menge \(S\) l. z. sei, ist nicht nur notwendig (Hausdorff, Mengenlehre, 247 [Zbl 1175.01034]), sondern auch hinreichend, daß jedes Kontinuum, welches irgend zwei Punkte von \(S\) in der Ebene trennt, (mindestens) einen Punkt mit \(S\) gemeinsam hat. (Eine Voraussetzung, daß \(S\) beschränkt sei, kann hier und an anderen Stellen wegfallen auf Grund eines späteren Resultats von S. Mazurkiewicz [Fundam. Math. 3, 20–25 (1922; JFM 48.0213.02)] Daraus ergibt sich dann noch ein neuer Beweis des Satzes von W. Sierpiński[Fundam. Math. 2, 81–95 (1921; JFM 48.0208.02), S. 94], daß die Komplementärmenge einer punkthaften Menge l. z. ist. Ferner wird gezeigt, daß die Komplementärmenge 1. einer i. l. z. M., 2. einer biconnexen Menge, 3. einer l. z. M., welche keine beschränkten l. z. Teilmengen enthält, jedesmal l. z. ist. Deshalb ist eine Zerlegung der Ebene in zwei Mengen 1. oder 2. oder 3. unmöglich.
In §5 werden nun schließlich sehr interessante Beispiele gegeben, um die Existenz verschiedener merkwürdiger Möglichkeiten nachzuweisen:
\(\alpha \)) Beispiel einer biconnexen Menge, die sogar die Eigenschaft hat, nach Weglassen eines einzigen Punktes ohne lückenlosen Zusammenhang zu sein. Daraus ergibt sich noch eine punkthafte Menge, welche die Ebene zerlegt, sowie eine biconnexe Menge, welche keine beschränkte l. z. Teilmenge enthält (vgl. Mazurkiewicz, voriges Referat).
\(\beta \)) Beispiel einer punkthaften, i. l. z. M.
\(\gamma \)) und \(\delta \)) Existenzbeweis (natürlich mit Hilfe des Auswahlaxioms) von total imperfekten, i. l. z. M. bzw. von total imperfekten, biconnexen Mengen. (V 2.)

MSC:
54-XX General topology
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