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Sur la régularisation du problème des trois corps. (French) JFM 47.0837.01
Der Verf. hat hier in einer sehr gut lesbaren Arbeit seine fundamentalen Resultate über das in Rede stehende Problem zusammengefaßt. Nachdem gezeigt worden ist, daß im Falle einer von Null verschiedenen Konstante des Flächensatzes nur ein einfacher Stoß möglich ist (Theorem von Sundman), wird die Untersuchung auf diesen Fall beschränkt. Findet ein solcher Stoß zur Zeit \(t_1\) statt, so bleiben \(U=\int \frac {dt}{r},\) also auch \(\tau =\int Udt\) bei \(t\to t_1\) endlich. Faßt man alle Bewegungen mit eine bestimmten Wert \(E\) der Energie zusammen, gehören alle diese zu einem kanonischen System mit der unabhängigen Variabeln \(\tau\) und der Energiefunktion \(F = \frac 1U (H- E),\) wo \(H\) die Gesamtenergie des Systems, \(U\) die potentielle Energie bedeutet. Wählt man nun einen der beiden zusammenstoßenden Punkte als Bezugspunkt, führt dann für die sechs Koordinaten und Impulse des anderen sechs neue kanonische Variable \(\xi_i, \omega_i\) ein, die durch die Betrachtung der parabolischen Bewegung des Punktes um einen festen Punkt nahegelegt werden, so sind auch in der Umgebung von \(t =t_1\) die \(\xi_i, \omega_i,\) sowie die sechs Koordinaten und Impulse des nicht am Stoß beteiligten Körpers reguläre Funktionen von \(\tau.\) Infolgedessen sind die Koordinaten der drei Körper, ihre gegenseitigen Entfernungen und auch die Zeit \(t\) reguläre Funktionen des reellen Parameters \(\tau;\) doch ist die Beziehung zu den reellen Werten der Zeit zweieindeutig.
Aus den Überlegungen folgt, daß es auch möglich sein muß, für den ganzen Verlauf der Bewegung, also auch in dem Falle wiederholter Zusammenstöße von je zweien der drei Körper regularisierende Variable einzuführen.
Die Beziehung der \(x_i, p_i\) zu den \(\xi_i, \omega_i\) ist diese: \[ \omega_i =-\frac {\partial W}{\partial \xi_i};\;p_i =\frac {\partial W}{\partial x_i}, \] mit \[ W =\sqrt 2\sqrt{\xi r-\sum \xi_i x_i},\;\text{wo }\xi =\sqrt{\sum \xi_i^2}, \;r =\sqrt{\sum x_i^2}. \]

MSC:
70F07 Three-body problems
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References:
[1] ”Leçons etc., professées à Stockholm” (Paris: Hermann, 1897), pp. 582–586.
[2] ”Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi”, Annali di Matematica, Ser. III, T. IX, 1903, pp. i–32. · JFM 34.0769.01
[3] ”Sur le problème des trois corps” ces Acta, T. 30. 1906, pp. 49–92.
[4] ”Recherches sur le problème des trois corps”, Acta Societatis Scientiarum Fennicae, T. XXXIV, no 6 (Helsingfors, 1907). · JFM 39.0792.02
[5] Dans ce journal, T. 30, pp. 305–327. Il convient d’avertir que, dès 1895,N. Thiele, dans ses ”Recherches numériques concernant les solutions périodiques d’un cas spécial du problème des trois corps” [Astronomische Nachrichten, B. CXXXVIII, pp. 1–10] avait indiqué une transformation régularisante du problème restreint, moins simple que la mienne, mais embrassant à la fois les deux masses finies. Il s’en est servi heureusement dans ses calculs, sans en faire toutefois ressortir, même en passant, l’intérêt spéculatif.
[6] ”Mémoire sur le problème des trois corps”, ces Acta, T. 36, 1912, pp. 105–179. · JFM 43.0826.01
[7] Rendiconti dei Lincei, vol. XXIV (2e semestre 1915), pp. 61–75, 235–248, 421–433, 484–501, 553–569.
[8] Ibidem, Rendiconti dei Lincei, vol. XXV (premier semestre 1916), pp. 445–458.
[9] Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. 162, 1916, pp. 625–629.
[10] Cette exclusion fut connue parWeierstrass, ainsi qu’il résulte d’une lettre adressée àM. Mittag-Leffler et publiée dans ce même recueil (voir ”Zur Biographie von Weierstrass”, T. 35, 1911, p. 30).
[11] ”Estensione della soluzione delfnSundman dal caso di corpi ideali al caso di sferette elastiche omogenee”, Rendiconti dei Lincei, vol. XXIV (premier semestre 1915), pp. 185–190. · JFM 45.1176.01
[12] Tout récemment des résultats extrêmement remarquables ont été obtenus parM. Birkhoff dans ses beaux mémoires: ”The restricted problem of the three bodies”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, T. XXXIX, 1915, pp. 265–334; ”Dynamical systems with two degrees of freedom”, Transactions of the American Mathematical Society, vol. XVIII, 1917, pp. 199–300. · JFM 45.1396.01 · doi:10.1007/BF03015982
[13] Pour abréger l’écriture, je vais avoir recours aux tout premiers éléments du calcul vectoriel en suivant les notations deM. M.Burali-Forti etMarcolongo. Voir leurs ”Eléments de calcul vectoriel” (édition française parS. Lattès, Paris: Hermann, 1910)
[14] Voyez par exE. J. Routh, ”Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies (elementary part)” [sixième édition, London: Macmillan, 1897], § 424.
[15] Voir par exempleCharlier, ”Die Mechanik des Himmels”, B. I. [Leipzig, Veit, 1902], pp. 237–241; ou bienPoincaré, ”Leçons de mécanique céleste”, T. I. [Paris: Gauthier-Villars, 1905], pp. 34–41.
[16] Je me borne, pour fixer les idées, aux valeurs croissantes de la variable indépendantet (futur). Il n’y aurait rien à changer dans les raisonnements et dans la conclusion, si l’on envisageait des valeurs décroissantes (passé); ou bien, croissantes et décroissantes à la fois.
[17] Je veux dire une durée à l’intervalle.
[18] Pp. 10–13 des “Leçons de mécanique céleste”, déjà citées à la page 106., pp.10–13.
[19] Loco citato (dans la note (5) de la page 99), Dans ce journal, T. 30, p. 313.
[20] Loco citato (dans la note (1) de la page 100), ”Mémoire sur le problème des trois corps”, ces Acta, T. 36, 1912, p. 127.
[21] J’emploie, pour abréger,sextuple au lieu desystème de six éléments.
[22] “Sopra un nuovo sistema canonico di elementi ellittici”, Annali di Matematica, Ser. III, T. XX, 1913. Voir aussi:W. De Sitter, “On canonical elements”, Proceedings of the K. Ak. van Wet. te Amsterdam, vol. XVI, 1913, pp. 279–291.H. Andoyer, ”Sur l’anomalie excentrique et l’anomalie vraie comme éléments canoniques d’aprèsM. M. T. Levi-Civita etG.-W. Hill” et ”Sur les problèmes fondamentaux de la mécanique céleste”, Bulletin Astronomique, T. XXX, 1913, pp 425–429, et T. XXXII, 1915, pp. 5–18.
[23] Ou bien, en suivantJacobi, certaines combinaisons linéaires (dépendant des masses) de ces coordonnées relatives. Nous y reviendrons au no 6.
[24] Loc. cit. Ou bien, en suivantJacobi, certaines combinaisons linéaires (dépendant des masses) de ces coordonnées relatives. Nous y reviendrons au no 6.
[25] Renvoi à la citation (2) de la page 100. Rendiconti dei Lincei, vol. XXIV (2e semestre 1915), pp. 61–75, 235–248, 421–433, 484–501, 553–569.
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