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Sur les variétés de courbure constante d’un espace euclidien ou non-euclidien. (French) JFM 47.0692.03
S. M. F. Bull. 47, 125-160 (1919); 48, 132-208 (1920).
Es handelt sich um die Gesamtheit der \(p\)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten \(V_p\) in einem euklidischen oder nichteuklidischen Raume \(R_n\) von \(n\) Dimensionen, für die \(ds^2\) von konstanter Krümmung ist. Ist diese Krümmung dieselbe wie die des \(R_n,\) so ist die \(V_p\) developpabel, das heißt abwickelbar auf eine ebene Mannigfaltigkeit von \(p\) Dimensionen.
Im \(R_3\) sind die developpabeln Flächen Enveloppen von Ebenen mit einem Parameter. Im allgemeinen Falle ist es nicht notwendig, daß für die developpabeln \(V_p\) ihre berührende Überebene nur von einem Parameter abhängt; ist \(q (> 1)\) die Anzahl der Parameter, so ist für reelle \(V_p\) die Zahl \(n \geqq p + q\) und \(\leqq p + \frac {q(q +1)}{2}.\) Dies gilt auch für \(q= p.\) Analoge Ergebnisse hat man für Mannigfaltigkeiten \(V\) einer konstanten Krümmung, die von der des Raumes \(R_n,\) in dem, sie sich befinden, verschieden ist. Ist die Krümmung der \(V\) kleiner, als die von \(R_n,\) und reell, so ist \(n \geqq 2p -1.\) Im Falle des Ungleichheitszeichens hat die normale Überebene mit einer benachbarten eine ebene Mannigfaltigkeit gemein, höchstens von \(n- 2p\) und mindestens von \(n - \frac {p(p+3)}{2}\) Dimensionen.
Wird die obere Grenze erreicht, so hängen die \(V\) von \(p(n - p)\) willkürlichen Funktionen eines Argumentes ab; wird die untere Grenze erreicht, so hängen sie von \(n - \frac {p(p+1)}{2}\) willkürlichen Funktionen von \(p\) Argumenten ab.
Zunächst werden die Methoden entwickelt, die für ein systematisches Studium der Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung besonders geeignet sind. Sie beruhen auf dem Gebrauch beweglicher Bezugssysteme und den sie darstellenden Pfaffschen Ausdrücken.
Das allgemeinste Bezugssystem wird durch zwei Formen, eine lineare und eine quadratische charakterisiert. Sodann wird ein Überblick über die Theorie der alternierenden bilinearen Formen und der assoziierten quadratischen symbolischen Formen mit äußerer Multiplikation gegeben. Hierbei spielen gewisse orthogonale quadratische Formen, für die die Summe der Minoren zweiten Grades (derselben Art) ihrer Diskriminanten verschwindet, eine ausgezeichnete Rolle.
Weiter werden die fundamentalen Eigenschaften der Pfaffschen Involutionssysteme erörtert, die aus den infinitesimalen Verschiebungen der obigen Bezugssysteme hervorgehen.
Nunmehr werden die infinitesimalen projektiven Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten \(V_p\) von \(p\) Dimensionen studiert. Hierher gehören insbesondere die Begriffe der oskulierenden Überebenen und der asymptotischen Netze verschiedener Ordnungen. Die Netze erster Ordnung hängen höchstens von \(q <p\) Variabeln ab, eine Überebene von \(q\) Parametern. Besitzt die oskulierende Überebene höchstens \(p + \frac {q(q + 1)}{2}\) Dimensionen, so enthält die \(V_p\) eine feste ebene Mannigfaltigkeit von \(p - q -1\) Dimensionen.
Den Schluß der ersten Abhandlung bildet die Untersuchung der developpabeln \(V\) und der \(V\) konstanter Krümmung. Es wird eine allgemeine Methode entwickelt, um die \(V\) konstanter Krümmung zu bestimmen, deren asymptotisches Netz einem bestimmten projektiven Typus angehört; danach lassen sich die fraglichen \(V\) anordnen, nach der Natur ihres asymptotischen Netzes.
Am Ende der ersten Abhandlung wird ferner das Problem aufgeworfen, \(r\) unabhängige quadratische Formen \(\Psi_1, \Psi_2, \dots, \Psi_r\) zu finden, die einem gegebenen linearen Netze \(\sum_{i =1}^r \lambda_i \varphi_i\) angehören und “extérieurement” orthogonal sind. Zu dem Behuf werden in der zweiten Abhandlung alle definiten positiven Formen \(H (u_1, \dots, u_r)\) ermittelt, in bezug auf die die \(r\) gegebenen Formen \(\varphi_i\) “extérieurement” konjugiert sind; die gesuchten Formen \(\Psi_1,\dots, \Psi_r\) entstehen dann aus den gegebenen durch diejenige lineare Substitution, die, auf die Unbestimmten \(u\) ausgeübt, eine Form \(H(u)\) auf eine Quadratsumme reduziert. Jeder Form \(H\) korrespondiert dann eine einzige Lösung des Problems, so daß zwei Lösungen als gleichwertig angesehen werden, für die sich die Formen \(\Psi\) durch eine orthogonale Substitution ergeben. Dabei heißen zwei Lösungen gleichwertig, wenn sie durch eine geeignete lineare Substitution der \(x\) auseinander hervorgehen.
Die Bestimmung der Formen \(H\) kommt auf die Auflösung eines Systems linearer Gleichungen zurück. Es handelt sich nun um die Lösung des folgenden allgemeinen Problems: Gegeben ist ein lineares Netz quadratischer Formen mit \(\varrho\) linear unabhängigen Basisformen \(\varphi_1, \dots, \varphi_\varrho;\) man soll in diesem Netze \(r\geqq \varrho\) Formen \(\Psi_1,\dots, \Psi_r\) von denen \(\varrho\) linear unabhängig sind, finden, die extérieurement konjugiert sind in bezug auf eine quadratische Form \(H\) in \(r\) Variabeln. Dabei ist die Behandlung komplexer Formen zu trennen von der reeller Formen.
In beiden Fällen gelingt die Lösung mit Hilfe der eingangs erwähnten Betrachtungen.

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