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Sur la déformation projective des surfaces. (French) JFM 47.0656.05
Die vorliegende Abhandlung ist veranlaßt durch eine Veröffentlichung ; G. Fubinis, Applicabilità proiettiva di due superficie (Palermo Rend. 41,135-162, 1916), und behandelt, wie diese, eine Verallgemeinerung des klassischen Biegungsproblems nach zwei Richtungen. Man übersieht am besten, worum es sich handelt, wenn man das Biegungsproblem in folgender Fassung ausspricht: Zwei Flächen \(S\) und \(\Sigma\) sind aufeinander abwickelbar, wenn sich die Fläche \(\Sigma\) derart bewegen läßt, daß die Koordinaten eines ihrer Punkte in der neuen Lage und deren partielle Ableitungen erster Ordnung nach zwei unabhängigen Variablen \(u, v\) dieselben numerischen Werte erhalten können wie die Koordinaten eines gegebenen Punktes von \(S\) und deren partielle Ableitungen erster Ordnung nach \(u, v,\) falls nur \(u, v\) die diesem Punkte entsprechenden Werte erteilt werden. Man kann nun erstens an Stelle der Gruppe der euklidischen Bewegungen irgendeine Fundamentalgruppe \(G\) von Transformationen treten lassen, zweitens zugleich mit den partiellen Ableitungen erster Ordnung auch solche höherer Ordnung (bis zur \(h\)-ten einschließlich) in Übereinstimmung bringen. Fubini spricht dann von einer Abwickelbarkeit \(k\)-ter Ordnung bezüglich der Gruppe \(G.\) Z. B. liefert \(h = 1\) und die Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen die konforme Abbildung als speziellen Fall. Fubini hat im besonderen die Abwickelbarkeit zweiter Ordnung bezüglich der Gruppe der projektiven Transformationen behandelt, was er kürzer projektive Abwickelbarkeit zweiter Ordnung genannt hat. Das Hauptergebnis der Fubinischen Untersuchungen war: Damit zwei Flächen projektiv von zweiter Ordnung aufeinander abwickelbar sind, ist notwendig und hinreichend daß zwischen ihnen eine punktweise Beziehung aufgestellt werden kann, bei der der Quotient zweier Differentialformen, einer bestimmten quadratischen und einer bestimmten kubischen, invariant bleibt.
In der vorliegenden Arbeit wird nun darauf hingewiesen, daß das Fubinische Ergebnis sozusagen in der Luft schwebt, da ja die Existenz solcher Flächenpaare noch nicht erwiesen ist. Es wird bewiesen, daß die Eigenschaft, projektiv abwickelbar zu sein, außer bei den geradlinigen Flächen, nur in bestimmten Ausnahmefällen wirklich vorkommt. Diese Flächen hängen von sechs willkürlichen Funktionen eines Arguments ab. Sie lassen ferner im allgemeinen nur solche Biegungsflächen (im Sinn der projektiven Verbiegung) zu, die eine von einem Parameter stetig abhängende Schar bilden; ausnahmsweise kommen jedoch auch \(\infty^3\) Scharen vor.
Die nicht abwickelbaren geradlinigen Flächen lassen sich stets projektiv verbiegen; und die Biegungsflächen bilden eine Klasse, die von einer willkürlichen Funktion eines Argumentes abhängt. Zwei abwickelbare Flächen sind stets projektiv aufeinander abwickelbar.
Fubini hat auch die projektive Abwickelbarkeit der Hyperflächen eines Raumes von mehr als drei Dimensionen betrachtet. Der Verf. beweist, daß die nicht developpablen Hyperflächen (die Fubini ausschließlich untersucht) niemals projektiv aufeinander abwickelbar sind.
Die vorliegende Arbeit zerfällt in sieben Kapitel: I. Vorbemerkungen. Das grundlegende Pfaffsche System. (Erläuterung des allgemeinen Verfahrens.) II. Das Differentialsystem der Paare (projektiv aufeinander) abwickelbarer Flächen (im dreidimensionalen Raum). III. Projektive Abwickelbarkeit der nicht geradlinigen Flächen. IV. Die invarianten Differentialformen \(\varphi\) und \(\psi\) (die quadratische und die kubische, die in dem Fubinischen Satze auftreten, der hier neu bewiesen wird). V. Die (projektive) Abwickelbarkeit der nicht developpablen geradlinigen Flächen (die Lösung des Problems wird für die Flächen vollständig gegeben, deren Erzeugende einer linearen Kongruenz angehören). VI. Die (projektive) Abwickelbarkeit der developpablen Flächen. VII. Die (projektive) Abwickelbarkeit zweiter Ordnung der Hyperflächen in einem projektiven Raum von mehr als drei Dimensionen (besondere Untersuchung des vierdimensionalen Raumes für die developpablen Hyperflächen, die einzigen projektiv abwickelbaren).

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