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Statica einsteiniana. (Italian) JFM 46.1319.01
Man nennt ein Gravitationsfeld statisch, wenn es ein Koordinatensystem gibt, in dem das Quadrat des vierdimensionalen Linienelementes die Gestalt \[ (1)\quad V^2 dx_0^2 - ds^2 \] hat, wo \(V\) eine Funktion der räumlichen Koordinaten \(x_1, x_2, x_3\) ist und \[ (2)\quad ds^2=\sum_{i, k=1}^3 a_{ik} dx_i dx_k \] das dreidimensionale räumliche Linienelement bedeutet. Im statischen Falle verschwinden die Komponenten des Energieimpulstensors, in denen gerade ein Index Null ist.
Wenn wir jetzt die Riemannschen Vierindizessymbole \(a_{ij, hk}\) des dreidimensionalen Linienelementes (2) einführen, so lassen sie sich nach Ricci durch die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe \(\alpha^{ik}\) darstellen \[ \alpha^{ik} = \frac{a_{i+1, i+2, k+1, k+2}}{a}, \] wo \(a\) die Determinante der \(a_{ik}\) bedeutet. Setzen wir analog wie im allgemeinen Gravitationsfeld \[ G_{ik}=\sum_{j, h=1}^3 a^{jh} a_{ij, hk}=\alpha_{ik} - a_{ik} \sum_{l, j} \alpha_{lj} a^{lj} \] und führen die “mittlere Krümmung” \[ M=\sum_{i, k} a^{ik} \alpha_{ik} \] ein, so erhalten wir die Feldgleichungen des statischen Gravitationsfeldes in der Gestalt: \[ M=\kappa \frac{T_{00}}{V^2}, \quad \alpha_{ik} + \frac{V_{ik}}{V} - \frac{\triangle_2 V}{V} a_{ik}=-\kappa T_{ik} \quad (i, k=1, 2, 3). \] Dabei ist \(V_{ik}\) die zweite kovariante Ableitung von \(V\) und \(\triangle_2V\) die allgemein kovariante Verallgemeinerung des Laplaceschen Differentialausdrückes. Aus diesen Gleichungen folgt, wenn wir \[ \sum_{i, k=1}^3 a^{ik} T_{ik}=T \] setzen, wegen der Beziehung \(\triangle_2 V=\sum a^{ik} T_{ik},\) \[ \frac{\varDelta_2V}{V}=\tfrac12\kappa\left(T+\frac{T_{00}}{V^2} \right), \] was der Poissonschen Gleichung in der Newtonschen Theorie entspricht. Die Bahnkurven eines materiellen Punktes in diesem statischen Feld sind dann die Extremalen des Integrals: \[ \int \sqrt{2U}ds, \] wobei \[ 2U=\frac{1}{V^2}=\frac{1}{V_0^2}. \] \(V_0\) ist dabei eine Konstante, die der Ungleichung \(V_0>V\) genügt.

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