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Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. (German) JFM 46.1296.02
Der Verf. behandelt das von Einstein für schwache Felder gelöste Problem für beliebige Gravitationsfelder. Er sucht eine Lösung der Feldgleichung, die den Bedingungen genügt, daß alle \(g_{ik}\) von \(x_4\) unabhängig sind, daß \(g_{14}=g_{24}=g_{34}=0\), \(g_{34}=0\), daß die Lösung kugelsymmetrisch ist und im Unendlichen das Feld verschwindet. Das Linienelement muß dann in Polarkoordinaten die Form \[ ds^2=Fdt^2-(G+Hr^2)dr^2 - Gr^2(d \vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d \varphi^2) \] haben, wo \(F, G, H\) Funktionen von \(r\) sind. Setzt man \[ x_1=\frac{r^3}{3}, \quad x_2=-\cos \vartheta, \quad x_3=\varphi, \] so wird: \[ ds^2=f_4dx_4^2-f_1dx_1^2 -f_2\frac{dx_2^2}{1-x_2^2} - f_3dx_3^2 (1-x_2^2), \] wo \[ f_2=f_3, \quad f_4=F, \quad f_1=\frac{G}{r^4}+\frac{H}{r^2}, \quad f_2=Gr^2. \] Durch Integration der Feldgleichungen ergibt sich dann \[ F_1=\frac{1}{R^4} \frac{1}{1-\frac \alpha R}, \quad f_2=R^2, \quad f_4=1-\frac \alpha R, \] wo \(R=\root 3\of{r^3+\alpha^3}\) und \(\alpha\) eine Konstante ist, die von der Masse des Punktes abhängt. Es ist also: \[ ds^2= \left( 1-\frac \alpha R \right) dt^2 - \frac{dR^2}{1- \frac \alpha R}-R^2 (d \vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d \varphi^2). \] Für die Bewegungsgleichungen ergibt sich als erstes Integral: \[ \left( \frac{dx}{d \varphi} \right)^2 = \frac{1-h}{c^2} + \frac{h \alpha}{c^2} x-x^2+\alpha x^3, \] wo \(x=\frac 1R\) und \(h\) eine Integrationskonstante. Setzen wir für \(R\) seinen Näherungswert \(r\), so geht aus dieser Gleichung die Einsteinsche hervor, aus der sich die Perihelbewegung des Merkur ergibt. Das dritte Keplersche Gesetz lautet nach der strengen Lösung, wenn wir mit \(n\) die Winkelgeschwindigkeit des Umlaufes bezeichnen: \[ n^2=\frac{\alpha}{2(r^3+\alpha^3)}. \] Die Proportionalität zwischen \(n^2\) und \(r^{-3}\) gilt also nicht streng; \(n\) nimmt bei abnehmenden \(r\) nicht unbegrenzt zu, sondern nähert sich dem Maximalwert \(\frac{1}{\alpha \sqrt 2}\).

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