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Die achsiale Inversion. (German) JFM 46.0884.01
Bei der “achsialen Inversion” mit der Achse \(A\) befinden sich zwei entsprechende Punkte auf einem \(A\) Entfernungen, deren Produkt einen konstanten Wert \(k\) hat. Die achsiale Inversion \((A, k)\) gehört zu den kubischen involutorischen Punktverwandtschaften. Die Achse \(A\) wird lotrecht gedacht. Dann verhalten sich die “Böschungen” achsial inverser Kurven in entsprechenden Punkten umgekehrt wie deren Abstände von der Achse. Die achsial inverse Kurve einer Geraden ist ein kubischer Kreis mit der Asymptote \(A\), der in gewissen Sonderfällen zerfällt. Einer algebraischen Raumkurve \(n\)-ter Ordnung entspricht eine solche \(3n\)-ter Ordnung. Eine Schraublinie mit der Achse \(A\) geht in eine Schraublinie mit gleicher Achse und Ganghöhe über. Die zu einer Ebene \(\varepsilon\) achsial inverse Fläche dritter Ordnung \(\overline\varepsilon\) ist der Ort aller zu einer Normalebene \(\varPi\) von \(A\) parallelen Kreise, die von einer gleichseitigen Hyperbel \(\overline F\) und deren Asymptote \(A\) in Gegenpunkten geschnitten werden. Auf zwei achsial inversen Flächen entsprechen einander die Schichten- und Fallinien. Die Flächen, welche \(\infty^1\) achsiale Inversionen gestatten, sind identisch mit jenen, deren Fallinien sich im Grundriß als Kreise eines Büschels darstellen. Die weitere Untersuchung führt zu den Haupteigenschaften der zuerst von H. Thieme (Zs. f. Math. u. Phys. 40, 362, 1895) untersuchten Fläche dritter Ordnung mit 4 Doppelpunkten, wobei sich die Einführung gewisser “Böschungskoordinaten” als zweckmäßig erweist. Den Schluß bilden Anwendungen auf die Schraubflächen. Sucht man für jeden Punkt einer Schraubfläche \(\varPhi\) mit der Achse \(A\) und dem Parameter \(p\) den Krümmungsmittelpunkt der hindurchgehenden Bahnschraublinie, so erfüllen diese Punkte die Schraubfläche \(\overline\varPhi\), welche \(\varPhi\) in der achsialen Inversion \((A, -p^2)\) entspricht. Einer Schraubfläche \(\varPhi(A, p)\) entspricht in dem Nullsystem \(\operatorname{Re}(A, p)\) wieder eine Schraubfläche \(\varPhi^*(A, p)\), die “polare Schraubfläche”. Durch die Korrelation \(\operatorname{Re}(A, p)\) wird die “Schraubtangentenkongruenz (Kongruenz der Tangenten an die Bahnschraublinien) der Fläche \(\varPhi\) übergeführt in die “Falltangentenkongruenz” (Kongruenz der Tangenten an die Fallinien) von \(\varPhi^*\) und umgekehrt. Die Kongruenz der Falltangenten von \(\varPhi\) hat als zwei Brennfläche wieder eine Schraubfläche \(\varPhi_1\). \(\varPhi_1\) geht aus \(\varPhi^*\) durch die achsiale Inversion \((A, -p^2)\) hervor. Es gilt auch der polare Satz: Die Kongruenz der Schraubtantenten von \(\varPhi_1\) hat als zweite Brennfläche \(\varPhi\). (V 6 C.)

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Full Text: EuDML