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Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. (German) JFM 46.0552.01
Die Grundlage der Untersuchungen des ersten Abschnitts bildet die Hexleitung der folgenden Flächenformel: Es sei \(\varphi(z)=z+\alpha_0+\frac{\alpha_1}{z}+\cdots\) eine Funktion, die das Äußere des Einheitskreises \(| z| >1\) schlicht abbildet, dann ist der (äußere) Inhalt \(J\) des Komplements des Bildbereichs gegeben durch \[ J=\pi(1-| \alpha_1| ^2-2| \alpha_2| ^2-\cdots). \] Daraus werden die Folgerungen gezogen: \[ (1)\quad J\leqq\pi\text{ (Gleichheitszeichen nur für } \varphi(z)=z+\alpha_0), \] \[ (2)\quad \sum_{\nu=1}^\infty \nu| \alpha_\nu| ^2\leqq 1. \] Die Ungleichung (1) gestattet es, den Faberschen Beweis dafür, daß Koebes Verzerrungskonstante den Wert \(\frac 14\) besitzt (vgl. die obigen Referate der Arbeiten von Bieberbach und Faber) stark zu vereinfachen.
Aus der Koeffizientenungleichung (2) werden Ungleichungen für die Koeffizienten einer das Innere des Einheitskreises schlicht abbildenden Potenzreihe \(f(z)=z+a_1z^2+a_2z^3+\cdots\) abgeleitet, insbesondere ergibt sich: \(| a_1| \leqq 2, | a_2- a_1^2| \leqq 1\). Beide Schranken werden nur bei der Koebeschen Funktron \(f(z)=\frac{z}{(1-\varepsilon z)^2}\;(| \varepsilon| =1)\) erreicht. Allgemein existiert eine Reihe von gewissen positiven Zahlen \(\kappa_\nu\;(\nu=1,2,\dots)\) derart, daß für alle schlicht abbildenden Funktionen \(| a_\nu| \leqq\kappa\nu\;(\nu=1,2,\dots)\).
Aus der Ungleichung \(| a_1| \leqq 2\) zieht der Verf., indem er \(f\) durch \(\frac 1f,\;z\) durch \(\frac 1z\) ersetzt, die weitere Folgerung: Bildet \(\varphi(z)=z+\frac{\alpha_1}{z}+\cdots\) das Äußere des Einheitskreises schlicht ab, so ist der Rand des Bildbereichs ganz innerhalb des Kreises \(| \varphi| =2\) und erreicht die Peripherie nur im Fall der Schlitzabbildungen \[ \varphi(z=Z+\frac\varepsilon z\;(| \varepsilon| =1). \] Im zweiten Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich der Verf. mit der Aufsuchung der notwendigen und gleichzeitig hinreichenden Bedingungen für die Koeffizienten \(a_\nu\) bei schlichter Abbildung von \(| z| <1\). Den Ausgangspunkt bildet die Betrachtung der Polynome \(n\)-ten Grades. Die hier möglichen Werte der \(a_\nu\) erfüllen im Koeffizientenraum \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) einen beschränkten einfach zusammenhängenden Bereich \(B_n^{(n)}\), der von einer algebraischen Fläche begrenzt ist. Zu ihrer Gleichung kann man in folgender Weise gelangen: Man bilde die Resultante \(R(z_1)\) der beiden Funktionen \(\Phi_{z_1}(z)=f\frac{f(z)-f(z_1)}{z-z_1}\) und \(\Psi_{z_1}(z)=z_1^nz_2^n\overline\Phi_{z_1}(z)\) und setze deren Diskriminante gleich Null. Auch die Projektionen \(B_m^{(n)}(m<n)\) von \(B_n^{(n)}\) auf den Raum \((a_1,a_2,\dots,a_m)\) erweisen sich als einfach zusammenhängend. Zu ihren inneren Punkten gehören auch Funktionen, die einen Kreis \(| z| <R (R>1)\) schlicht abbilden, zu ihren Randpunkten Funktionen, die nur für \(| z| <1\) schlicht sind. Durch Grenzübergang \((n\to\infty)\) entstehen aus den \(B_m^{(n)}\) die Projektionen \(B_m\) der Koeffizientenbereiche der allgemeinen Potenzreihen. Die topologischen Eigenschaften sowie die Sonderstellung der Randpunkte bleibt erhalten. Dafür, daß \(f(z)\) schlicht abbildet, ist notwendig und hinreichend, daß \((a_1,\dots,a_m)\) dem Bereich \(B_m (m=1, 2,\dots)\) angehört.

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