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Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. (German) JFM 46.0291.02
Ein System von Mengen, dem sowohl die Summe wie der Durchschnitt von abzählbar vielen Mengen des Systems angehört, wird als \((\sigma\delta)\)-System bezeichnet; die Mengen des kleinsten \((\sigma\delta)\)-Systems, dem alle Gebiete – d. h. alle Mengen mit ausschließlich lineren Punkten – angehören, heißen Borelsche Mengen. Mit Beziehung auf Punktmengen in einem euklidischen Raum von beliebig vielen Dimensionen sowie auf gewisse allgemeinere Räume wird, in weitgehender Verallgemeinerung eines bekannten Cantorschen und eines darüber hinausgehenden W. H. Youngschen Satzes, der Beweis geführt, daß jede Borelsche Menge entweder endlich oder abzählbar oder von der Mächtigkeit des Kontinuums ist.

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References:
[1] Wie in meinem Buche: Grundzüge der Mengenlehre (Leipzig 1914), das ich unter der Abkürzung G. d. M. zitier, verstehe ich unter einem Gebiet eine Menge, die nur innere Punkte hat (aber, im Gegensatz zum üblichen Sprachgebrauch, nicht notwendig zusammenhängend ist), also das Komplement einer abgeschlossenen Menge.
[2] Nach der Maßtheorie von C. Carathéodory: Über das lineare Maß von Punktmengen, Gött. Nachr. (1914), die auch das Maß ? zuläßt, sind alle Borelschen Mengen meßbar.
[3] H. Lebesgue, Sur les fonctions représentables analytiquement, Journ. de Math. (6) 1 (1905); W. H. Young, On functions and their associated sets of points, Proc. London Math. Soc. (2) 12 (1912).
[4] R. Baire, Sur la représentation des fonctions discontinues, Acta Math. 30 (1906).
[5] Die beschränkten, abgeschlossenen, absteigenden MengenV ? ,V ?? ,V ??? , ... haben (mindestens) einen Punkt gemein, für jede aus 1, 2 gebildete Ziffernfolge ??? ... Das gilt auch in einem ?vollständigen? Raume, wenn man noch die leicht realisierbare Bedingung stellt, daß die Radien dieser Kugeln nach 0 konvergieren (G. d. M. S. 318). Die Menge ? ist übrigens perfekt.
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