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Axiomatisches Denken. Vortrag gehalten in der Schweizerischen mathematischen Gesellschaft, am 11. Sept. 1917 in Zürich. (German) JFM 46.0062.03
In diesem Vortrag wird die axiomatische Methode gekennzeichnet als ein allgemeines Verfahren des wissenschaftlichen Denkens. Dieses Verfahren setzt auf derjenigen Entwicklungsstufe einer Wissenschaft ein, wo ein Bereicht von beannten Tatsachen mit Hilfe eines Fachwerks von Begriffen zu einer Theorie geordnet wird. Bei der Betrachtung einer solchen Systematisierung eines Wissensgebietes zeigt sich allemal, daß nach Einführung der Grundbegriffe einige wenige Sätze ausreichend sind, um aus ihnen nach rein logischen Prinzipien die ganze Theorie zu entwickeln, so daß sie als “Axiome” für des betreffende Wissensgebiet genommen werden können.
Die axiomatische Methode besteht nun in der bewußten Herausarbeitung des rein logischen Bestandteils einer Theorie und ferner in der Untersuchung der grundsätzlichen Fragen, welche vom logisch-systematischen Standpunkt an ein jedes Fachwerk von Begriffen zu stellen sind. Es sind vor allem die zwei Gesichtspunkte der Abhängigkeit (bzw. Unabhängigkeit) und der Widerspruchslosigkeit, welche hierbei in Betracht kommen.
Bei der axiomatischen Untersuchung der logischen Abhängigkeiten handelt es sich insbesondere um die Frage der Möglichkeit einer “Tieferlegung der Fundamente” einer Theorie und des Sparens von Axiomen. Die zunächst sich bietenden Axiome lassen sich im allgemeinen auf einfachere Grundsätze zurückführen. Man spricht dann von einem “Beweis” der Axiome. Hierher gehört auch der Fall, wo ein plausibler Satz vorläufig als Postulat aufgestellt wird. Dieser kann dann zunächst als Axiom behandelt werden, und die Feststellung der Abhängigkeit dieses Axioms von den übrigen ist dann gleichbedeutend mit dem Beweise des Postulats. (Beispiel des Satzes von der Wurzel-Existenz in der Algebra, der Riemannschen Vermutung in der Primzahl-Theorie.)
Das klassische Beispiel für die Prüfung der Unabhängigkeit eines Axioms bietet der Fall des Parallelen-Axioms in der Geometrie (wie ja überhaupt die euklidische Geometrie das Musterbeispiel für eine axiomatisierte Wissenschaft bildet). Ferner werden von Hilbert aus dem Gebiet der Mechanik interessante Beispiele von Untersuchungen über Abhängigkeit und über Ersetzbarkeit von Axiomen durch andere angeführt.
Bei dem Problem der Widerspruchslosigkeit besteht die erste Anforderung in der Beseitigung der Widersprüche, die sich von selbst im Verlaufe der Entwicklung von Theorien herausstellen, und zwar hat man, zumal in der Physik, auch darauf zu achten, daß sie Sätze der verschiedenen Theorien miteinander in Einklang stehen. Ein krasses Beispiel einer Diskrepanz bildet der Widerspruch zwischen der modernen Quantentheorie und den Gesetzen der Elektrodynamik. In diesem und änhlichen Fällen wird die Beseitigung der Widersprüche durch veränderte Wahl der Axiome erfolgen müssen.
Daß auch in rein theoretischen Wissensgebieten Widersprüche vorkommen können, zeigen die Paradoxien der Mengenlehre, durch deren Entdeckung die Existenzberechtigung der Mengenlehre überhaupt in Frage gesetzt schien. Hier hat die axiomatische Methode Abhilfe gebracht, indem es Zermelo gelang, die Willkür in der Mengenbildung, ohne Beeinträchtigung der Tragweite der Mengenlehre, durch Aufstallung eines Axiomensystems so zu beschränken, daß jene Widersprüche wegfallen.
Nun geht aber die Forderung der Axiomenlehre über die Beseitigung vorgefundener Widersprüche hinaus: von einer vollkommenen axiomatischen Behandlung eines Wissensgebietes muß der Nachweis verlangt werden, daß auf Grund des betreffenden Axiomensystems Widersprüche innerhalb der Theorie überhaupt unmöglich sind.
Derartige Nachweise hat Hilbert in den Grundlagen der Geometrie sowie in seiner Begründung der elementaren Strahlungstheorie geliefert. Hierbei besteht die Beweismethode in der Zurückführung auf die Axiome der Analysis, d. h. es werden die Axiome der Analysis als widerspruchslos vorausgesetzt.
Wenn es sich nun aber um die Widerspruchslosigkeit der Arithmetik selbst und der Mengenlehre handelt, so ist ein solches Verfahren der Zurückführung nicht mehr möglich. Es könnte hierfür nur noch auf die Logik rekurriert werden. In der Tat erweist es sich als sachgemäß, gewisse Teile der Logik mit in die Untersuchung einzubeziehen. Dabei handelt es sich jedoch nicht um eine Zurückführung in dem früheren Sinne, sondern um eine Ausdehnung der axiomatischen Methode auf die logischen Verknüpfungen und Schlußfiguren. Es wird also gewissermaßen die Logik axiomatisiert und zugleich wird sie derart erweitert, daß die Zahlentheorie und Mengenlehre sich in sie einordnen lassen. In diesem Sinne ist das Problem des Beweises der Widerspruchslosigkeit der Arithmetik von Frege in Angriff genommen und insbesondere durch Russell erfolgreich weitergeführt worden. In der Vollendung dieses Unternehmens könnte man die Krönung des Werkes der Axiomatik überhaupt erblicken.
Von diesem Ziel ist man aber noch weit entfernt. Die Schwierigkeit der Aufgabe zeigt sich insbesondere an ihrem engen Zusammenhang mit einem ganzen Bereich von sehr schwierigen Problemen, wie z. B. dem Problem der prinzipiellen Lösbarkeit einer jeden mathematischen Frage oder dem Problem der Entscheidbarkeit einer mathematischen Frage durch eine endliche Anzahl von Operationen.
Dies letzte Problem erläutert Hilbert des näheren an dem Fundamentalsatz der Invariantentheorie und an den Untersuchungen, welche sich auf die Maximalzahl von getrennten Mänteln einer Fläche vierter Ordnung beziehen.
Zur Behandlung jenes Bereiches von Problemen hält es Hilbert für unerläßlich, den mathematischen Beweis selbst zum Gegenstand einer Untersuchung zu machen.
Die Methode der Axiomatik ist so allgemein, daß sie auf alle Gebiete des menschlichen Denkens Anwendung finden kann: “Alles, was Gegenstand des wissenschaftlichen Denkens überhaupt sein kann, verfällt, sobald es zur Bildung einer Theorie reif ist, der axiomatischen Methode und damit mittelbar der Mathematik.”
Die Hilbertschen Ausführungen sind durch ein reiches Material an eingestreuten Beispielen belebt.

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