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Recherches sur les transcendantes de M. Painlevé et l’étude asymptotique des équations différentielles du second ordre. (Suite.). (French) JFM 45.0478.02
Die vorliegende Abhandlung bildet die Fortsetzung einer früheren, die ersten drei Teile enthaltenden Arbeit (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 30, 255, 1913), worüber in den F. d. M. 1913 berichtet worden ist. Verf. hatte dort die neuen Painlevéschen Transzendenten untersucht und gefunden, daß dieselben durch eine einfache Transformation in Funktionen übergeführt werden können, die zu den doppelperiodischen Funktionen “asymptotisch” sind (über diesen Begriff vgl. das betr. Referat) ; insbesondere hatte er die zur Weierstra{ss}schen \({\mathfrak p}\)-Funktion asymptotischen Typen einer näheren Untersuchung unterzogen. Diese Untersuchungen werden in der vorliegenden Arbeit fortgesetzt: Im vierten Teile werden die Differentialgleichungen zweiter und dritter Ordnung angegeben, deren Integrale zum Modularsinus und zu verschiedenen anderen Typen doppeltperiodischer Funktionen asymptotisch sind. Der fünfte Teil enthält die allgemeine Untersuchung der Gleichung zweiter Ordnung und ersten Grades (1) \(y''=R(x,y,y')\) (\(R\) rational in \(y'\) und algebraisch in \(y\)), deren Integrale zu den elliptischen Funktionen asymptotisch sind : Verf. zeigt, daß die einzigen Gleichungen (1), deren sämtliche Integrale in jedem von den festen singulären Punkten der Koeffizienten von \(R\) verschiedene Punkte “rationaloid” sind, zwei vorher von ihm aufgestellte Gleichungen und ähnliche Gleichungen sind, die den verschiedenen von \(x\) unabhängigen Gleichungen (1) mit meromorphen Integralen entsprechen. Nach den Untersuchungen von Painlevé genügt es, die Gleichungen (1) von der Form \(y''=L(x,y)y'^2+M(x,y)y'+N(x,y)\) (\(L, M, N\) rational in \(y\)) zu betrachten, und es wird zuerst der Fall \(L=0\) und dann der Fall \(L\neq 0\) behandelt. – Während Verf. im fünften Teile eine Methode anwendet, welche bei der Untersuchung der Gleichungen (1) mit eindeutigen Integralen die Painlevésche Methode zu ersetzen imstande ist, aber eine größere Tragweite als diese besitzt, weil sie die Untersuchung der Integrale einer beliebigen Gleichung (1) (mit festen oder beweglichen Verzweigungspunkten) gestattet, wird im sechsten Teil von ihm eine andere, von dem im zweiten und dritten Teile der Arbeit eingenommenen Standpunkte suggerierte Methode benutzt, welche hauptsächlich auf der Betrachtung der “intégrales tronquées” beruht. Diese Methode läßt ohne jede Rechnung, wenn auch nicht direkt die explizite Form der gesuchten Gleichungen, so doch wenigstens die Struktur und gewisse fundamentale Eigenschaften der ihnen genügenden Funktionen erkennen; sie gestattet außerdem, einige der früher gewonnenen Resultate zu vervollständigen, und kann, wie es scheint, leicht auf die Gleichungen von höherer als der zweiten Ordnung ausgedehnt werden.
Die asymptotische Untersuchung der Transzendenten vom doppeltperiodischen Typus im zweiten und dritten Teile der Arbeit hatte den Verf. zu einer Darstellung dieser Transzendenten durch Reihenentwicklungen geführt, die nach Potenzen eines Parameters fortschreiten. Im siebenten Teile erhält Verf. andere bemerkenswerte Entwicklungen, indem er nicht das allgemeine Integral, sondern ein erstes Integral der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch sukzessive Approximationen auszuwerten sucht. Es ist von besonderem Interesse, daß Verf. dabei in einem besonderen Falle dieselbe Relation erhält, zu der er gelangt, indem er von den Resultaten von Schlesinger und R. Fuchs (s. das Ref. auf S. 477) ausgeht.

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Full Text: DOI Numdam EuDML