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Neue Untersuchungen über die Pfeiffer’sche Methode zur Abschätzung von Gitterpunktanzahlen. (German) JFM 45.0313.01
Die in Wien. Ber. 121, 2105-2332 (F. d. M. 43, 268 (JFM 43.0268.*), 1912) enthaltene Abhandlung ergänzt der Verf. nach drei verschiedenen Richtungen.
Der erste Teil behandelt allgemeine Randkurven; sein Hauptergebnis ist ein Analogon zum Hülfssatz 13 jener Abhandlung für den Fall, daß auf dem Kurvenbogen Gitterpunkte liegen. Dabei wird der Kurvenbogen \(v=g(u)\) für \(U_0\leqq u\leqq U\) mit Tangente angenommen, und es gelingt, die Existenz von \[ \lim_{m\to\infty}\iint_G\varphi_m(u)\varphi_m(v)dudv \] wirklich zu beweisen. Der Kern der Untersuchung liegt in dem Studium eines Gitterquadrats, das von einem Kurvebogen durchschnitten wird, der wenigstens eine Ecke trifft.
Der zweite Teil handelt speziel von dem Ellipsenproblem aus dem fünften Teil der früheren Abhandlung und wirft ein neues Licht auf die Pfeiffersche Methode. Durch Zusammenstellung von Formeln der alten Abhandlung über die dort definierten Funktionen \(A(x)\) und \(P(x,a,b)\) folgt: Die Doppelreihe \(\sum_{a=-\infty}^{\infty}\;\sum_{b=-\infty}^{\infty}\;\int_x^{x+x^{1/3}}P(\xi,a,b)d\xi\) ist absolut konvergent und die Funktion \[ \Phi(x)=\int_x^{x+x^{1/3}}A(\xi)d\xi-\sum_{a=- \infty}^{\infty}\;\sum_{b=-\infty}^{\infty}\;\int_x^{x+x^{1/3}}P(\xi,a,b)d\xi \] ist \(O(x^{2/3})\), sogar auf Grund der dortigen Beweismethode \(O(x^{1/3+\varepsilon})\) bei jedem \(\varepsilon>0\). Jetzt wird sogar dargetan, daß die Funktion \(\Phi(x)\) identisch Null ist.
Im dritten Teil wird beim Ellipsenproblem gezeigt, daß für kein \(\nu<\frac{1}{4}\) bei irgendeinem Parametersystem \(\alpha,\beta,\gamma,\vartheta,\Theta\;A(x)=2\pi x/\sqrt{\Delta}+O(x^{\nu})\) sein kann, daß also die wahre Konstante \(\kappa\) jetzt zwischen \(\frac{1}{3}\) (einschließlich) und \(\frac{1}{4}\) (einschließlich) liegt. Bisher war nach unten nichts über die Trivialität \(\nu\geqq 0\) Hinausgehendes bekannt.

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