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Eine Weiterbildung der Graßmannschen Ausdehnungslehre im Sinne der Invariantheorie. (German) JFM 45.0229.01
Es werden Produktbildungen zwischen algebraischen Größen untersucht, die für eine Weiterbildung der Ausdehnungslehre im Sinne der Invariantentheorie von grundlegender Bedeutung zu sein scheinen. Wegen ihrer engen Beziehung zum Gordanschen Faltungsprozesse heißen sie “mehrfaltige” Produkte: sie gehen aus algebraischen Größen durch mehrfaltige Multiplikation mit veränderlich gedachten Gebilden hervor. Hierbei dürfen auch, was ein besonderer Vorzug gegenüber der üblichen Symbolik ist, die algebraischen Formen in gewissen Normalgestalten (Produkt oder Summe von Produkten von Formen) vorgelegt sein. Es diene dem Gebiete \(R_{n-1}\) \(n\)-ter Stufe der \(R_3(n=4)\) als Typus. Punkte (Grundgebilde erster Stufe) werden mit \(a,b,c,\dots,x,y,z,\dots\) bezeichnet. Stäbe (Grundgebilde zweiter Stufe) mit \(A,B,C,\dots,X,Y,Z\), Blätter (Grundgebilde dritter Stufe) mit \(\alpha,\beta,\gamma,\dots,\xi,\eta,zeta,\dots\). Unter Punkten sind die Vektoren, unter Stäben die Felder (Bivektoren) und unter Blättern die “Blöcke” mitverstanden.
Endlich dienen die Zeichen \(\mathfrak{a,b,c},\dots,\mathfrak{r,u,z},\dots\) für Zahlen.
Kombinatorische Produkte solcher Größen heißen äußere. Für das algebraische Produkt gleichartiger Größen der obigen Arten gilt das distributive, kommutative und assoziative Gesetz; solche Produkte werden ohne Klammern geschrieben, so daß z. B. \(abc\) das Produkt der Punkte \(a,b,c\) ist. Durch zurückgehen auf die Grundpunkte \(e_1,\dots,e_4\) gelangt man zu den Potenzprodukten dritten Grades der \(e\), den “Punktenheiten dritten Grades”, und entsprechend allgemein.
Analog den algebraischen Punktgrößen \(a^{(n)}\dots\) werden algebraische Ebenengrößen \(\alpha^{(n)}, \beta^{(m)},\dots\) und Strahlgrößen \(A^{(n)},B^{(m)},\dots\) definiert. Aus diesen Größen “erster Gattung” entstehen durch Zusammensetzung Punkt-Ebenengrößen, Punkt-Strahlgrößen und Strahl-Ebenengrößen als solche der “zweiten Gattung”. Treten endlich Punkte, Strahlen und Ebenen zugleich auf, so hat man es mit Größen der “dritten Gattung” zu tun.
Seien \(a_1a_2\dots a_r\) und \(b_1b_2\dots b_r\) irgend zwei Punktprodukte \(r\)-ten grades, so wird die Operation eingeführt: \[ (1)\quad \{a_1a_2\dots a_r, b_1b_2\dots b_r\}_r=\frac{1}{r!}\sum_{i_1i_2\dots i_r}[a_1b_{i_1}][a_2b_{i_2}]\dots[a_rb_{i_r}], \] wo die eckigen Klammern äußere Produkte bezeichnen, \(i_1i_2\dots i_r\) irgendeine Permutation von \(1,2,\dots,r\) ist und die Summe über alle Permutationen zu estrecken ist. Das Ergebnis ist eine Strahlgröße \(r\)-ten Grades.
Die Operation (1) soll gültig bleiben, wenn die beiden Produkte \(r\)-ten Grades andere Größen erster Gattung sind, z. B. ein Strahlprodukt und ein Punktprodukt, so daß eine Ebenengröße entsteht, usf.
Die Definition (1) läßt sich verallgemeinern für zwei Punktprodukte \(a_1a_2\dots a_m\) und \(b_1b_2\dots b_n\;(r\leqq m, r\leqq n)\); das Ergebnis ist dann eine Punktstrahlgröße.
Im besonderen ergibt sich: \[ (2)\quad \{a^mb^n\}_r=[ab]^ra^{m-r}b^{n-r}. \] Schließlich wird die Operation \(\{\}_r\) auf irgend zwei algebraische Größen erster Gattung angewendet, indem man die Gültigkeit des distributiven Gesetzes bezüglich beider Verknüpfungsglieder annimmt. Sind also \(a_i^{(m)}\) und \(b_i^{(n)}\) algebraische Punktprodukte, und ist \(a^{(m)}=\sum a_i^{(m)}, b^{(n)}=\sum b_k^{(n)} (i,k=1,2,\dots)\), so soll sein \[ (3)\quad \{a^{(m)}b^{(n)}\}_r=\sum_{i,k}\{ a_i^{(m)}b_k^{(n)}\}_r (r\leqq m, r\leqq n). \] Dies Ergebnis ist von der Darstellungsform der \(a^{(m)}\) und \(b^{(n)}\) unabhängig.
Die Operation (3) heißt eine “\(r\)-faltige Multiplikation”, \(r\) der Faltungsgrad.
Das einfaltige Produkt von Größen ersten Grades stimmt mit dem äußeren Produkt überein. In dem besonderen Falle, wo \(r\) seinen höchsten Wert erreicht, wird seine Bezeichnung weggelassen, so daß \(\{a^{(m)}a^{(n)}\} (n<m)\) oder \(\{\alpha^{(n)}a^{(n)}\}\) \(n\)-faltige Produkte bedeuten. Produkte letzterer Art hat schon Graßmann selbst (J. f. Math. 84, 1878, S. 277, s. F. d. M. 10, 510 (JFM 10.0510.*), 1878) eingeführt; die Gleichung \(\{\alpha^{(n)}x^{(n)}\}=0\) liefert eine algebraische Fläche \(n\)-ter Ordnung, und analog gelangt man zu der Gleichung einer Fläche \(n\)-ter Klasse und eines Strahlkomplexes \(n\)-ten Grades.
Das \(n\)-faltige Produkt zweier Größen \(n\)-ten Grades erster Gattung ist entweder eine Zahl oder wieder eine Größe \(n\)- ten Grades erster Gattung. In letzterem Falle kann man das Produkt abermals mit einer Größe \(n\)-ten Grades erster Gattung multiplizieren und gelangt so zu “fortschreitenden \(n\)-faltigen Produkten”. Sind im besonderen die Faktoren eines solchen Produktes \(n\)-te Potenzen von Größen ersten Grades entsprechend gebildeten Produktes. Auf diesem Wege wird man zu “zusammengesetzen mehrfaltigen Produkten” geführt, wo die Faktoren selbst wieder mehrfaltige Produkte sind.
Nunmehr wendet sich der Verf. einer linearen Transformationen \(\mathfrak T\) der Variablen \(\mathfrak r_i\) zu, diese sagt aus, daß der Punkt \(x=\sum_1^4{\mathfrak r}_i e_i\) aus vier neuen Punkten \(p_1p_2p_3p_4\) – mit von Null verschiedenem äußeren Produkten \(\Delta\) - abzuleiten ist, so daß \(x=\sum \mathfrak r_i^\prime p_i\) wird. Vermöge \(\mathfrak T\) geht eine Form \(f=\{ \alpha^{(n)}({\mathfrak r}_1e_1+\cdots{\mathfrak r}_4e_4)^n\}\) über in \(f'=\{\alpha^{(n)}({\mathfrak r}_1^\prime e_1+\cdots {\mathfrak r}_4^\prime e_4)^n\}\).
Ist \(e_k^{(n)}\) irgendeine Punktenheit \(n\)-ten Grades und \(\varepsilon_k^{(n)}\) die entsprechende Ebeneneinheit, so wird \({\mathfrak a}_k=\{\alpha^{(n)}e_k^{(n)}\}\) ein Koeffizient von \(f\) und \({\mathfrak a}_k^\prime=\{\alpha^{(n)}p_k^{(n)}\}\) der entsprechende Koeffizient von \(f'\). Die Koeffizienten von \(f'\) lassen sich dann darstellen als die mit \(\Delta^n\) multiplizierten Koeffizienten der in den \(p_i\) ausgedrückten Größe \(\alpha^{(n)}\).
Daraus folgt, daß jedes zusammengesetze mehrfaltige Produkt algebraischer Größen, das eine Zahl darstellt, eine Invariante dieser Größen ist, wo der Begriff Invariante im allgemeinsten Sinne gemeint ist.
Analog gelangt man zu kovarianten Bildungen.
Sodann wird noch auf den Zusammenhang zwischen den zusammangesetzten mehrfaltigen Produkten und der symbolischen Darstellung der Invarianten nach Aronhold-Clebsch eingegangen. Die Vergleichung korrespondierender Darstellungen lehrt, daß jede der beiden Darstellungen als eine reale Vorschrift dafür zu betrachten ist, wie aus den als Potenzsummen dargestellt gedachten Größen die Invariante gebildet wird. Am Schluß werden noch Beispiele für spezielle Darstellungsarten der Grundformen ausgeführt.

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Full Text: EuDML