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Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete. (German) JFM 44.0757.02
Die Begrenzung eines einfach zusammenhängenden schlichten Gebietes \(G,\) welches selbst nur als aus inneren Punkten bestehend betrachtet wird, läßt sich im allgemeinsten Falle zweckmäßig in Elemente auflösen, die bei Carathéodory als “Primenden”, von Koebe später (J. für Math. 145) als “Randelemente” bezeichnet werden. Auf diese gleichzeitig von Carathéodory und Study gefundene Analyse der Begrenzung wird man in durchaus natürlicher Weise geführt durch die Unterscheidung der erreichbaren und nicht erreichbaren Grenzpunkte. Erstere sind offenbar zyklisch angeordnet und können durch Querschnitte zu je zweien miteinander verbunden werden. Es sind nun alle diejenigen Begrenzungspunkte in ein Randelement zu vereinigen, die nicht durch Querschnitte voneinander getrennt werden können, wobei nun ein und derselbe Grenzpunkt unendlich vielen voneinander verschiedenen Randelementen angehören kann.
Wird jetzt die konforme Abbildung des Innern des Gebietes \(G\) auf die Fläche des Einheitskreises vorgenommen, so ergibt sich eine eineindeutige Beziehung der erreichbaren Begrenzungspunkte auf die Punkte einer die Peripherie des Einheitskreises überall dicht bedeckenden Punktmenge und eine durchgängig eineindeutige Beziehung der Randelemente auf die Gesamtheit der Punkte der Peripherie des Einheitskreises.
Die Randelemente werden von Carathéodory wie auch von Study noch spezielleren Unterscheidungen unterworfen, wobei mancherlei Fragen zur Weiterverfolgung auffordern.

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References:
[1] Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten II, p. 176. · JFM 39.0095.16
[2] Diese Definition kann erweitert werden, um die Zusammenhangszahl eines Gebietes allgemein zu definieren: Ein Gebiet istn-fach zusammenhängend, wenn vonn Polygonen, von denen jedes außerhalb der anderen liegt, mindestens eines die Eigenschaft c) des Textes besitzt, während (n?1) außerhalb einander liegende Polygone gefunden werden können, welche diese Eigenschaft nich besitzen. Diese Definition hat den Vorteil, zu zeigen, daß die Zusammenhangszahl eine Eigenschaft der inneren Punkte des Gebietes ist. Herr Schoenflies hat [Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten II (Teubner 1908), S. 112] eine Definition mit Hilfe von Approximatronspolygonen gegeben, die dasselbe Ziel verfolgt; den Beweis, daß die von ihm definierte Zahl von den Approximationspolygonen unabhängig ist, hat er aber nicht erbracht.
[3] l. c. § 3.
[4] l. c. § 10.
[5] Dieser Satz zeigt, daß die Hauptpunkte unserer Primenden mit den Punkten identisch sind, die Herr Study auf der S. 64 seines oben zitierten Werkes betrachtet hat.
[6] Sur une méthode géométrique élémentaire (Acta Math. 30, S. 145-174).
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